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점 \(\mathrm{A}(a,b)\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 반시계방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(+90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^\prime}\)과 시계 방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(-90^\circ\)) 회전 이동한 점  \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 각각 다음과 같습니다. $$\begin{align}&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)\\
&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)\end{align}$$

관련 글

• 위치벡터의 90° 회전이동 (2010학년도 수능 가형 14번)

증명

이 결과를 간단히 증명하는 방법 중 하나는 삼각 함수를 사용하는 것입니다. 먼저  \(x\)축의 양의 방향을 시초선으로 사용하겠습니다. 점 \(\mathrm{O}\)를 원점, 동경 \(\mathrm{OA}\)의 길이를 \(r\), 동경 \(\mathrm{OA}\)가 시초선과 이루는 각을 \(\theta\)로 두면, 점\(\mathrm{A}\)의 좌표 \((a,b)\)는 다음과 같습니다. $$(a,b)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$$

\(+90^o\)회전(반시계방향):\((a,b)\rightarrow(-b,a)\)

이제 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 동경 \(\mathrm{OA}\)를 반시계 방향으로 \(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\) 만큼 회전해 보겠습니다.  \(\mathrm{OA}\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\theta\) 이므로 이 동경을 반시계방향으로 \(90\) 회전한 동경 \(\mathrm{OA^{\prime}}\)이 시초선과 이루는 각은 \(\theta+\dfrac{\pi}{2}\) 가 됩니다. 따라서 점 \(\mathrm{A^{\prime}}\)의 좌표는 $$(r\cos(\theta+\frac{\pi}{2}), r\sin(\theta+\frac{\pi}{2}))$$ 입니다. 그런데, $$\begin{align}&\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta\\
&\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta\end{align}$$이므로 점 \(\mathrm{A^{\prime}}\)의 좌표는 $$\begin{align}&(r\cos(\theta+\frac{\pi}{2}), r\sin(\theta+\frac{\pi}{2}))\\
&=(-r\sin\theta, r\cos\theta)\\
&=(-b,a)\end{align}$$$$\therefore\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)$$ 입니다. 

\(-90^\circ\)회전(시계방향):\((a,b)\rightarrow(b,-a)\)

마찬가지로, 삼각함수를 사용하여 설명할 수 있습니다. 시초선과 이루는 각이 \(\theta^\circ\)인  동경 \(\mathrm{OA}\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 시계방향으로 \(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\)만큼 회전한 동경 \(\mathrm{OA^{\prime\prime}}\)이 시초선과 이루는 각은 \(\theta-\frac{\pi}{2}\)입니다. 따라서 점 \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 $$(r\cos(\theta-\frac{\pi}{2}), r\sin(\theta-\frac{\pi}{2}))$$ 입니다. 그런데, $$\begin{align}&\cos(\theta-\frac{\pi}{2})=\sin\theta\\
&\sin(\theta-\frac{\pi}{2})=-\cos\theta\end{align}$$이므로 점 \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 $$\begin{align}&(r\cos(\theta-\frac{\pi}{2}), r\sin(\theta-\frac{\pi}{2}))\\
&=(r\sin\theta, -r\cos\theta)\\
&=(b,-a)\end{align}$$$$\therefore\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)$$ 입니다.

관련 문제

원점을 중심으로 하는 \(90^\circ\) 회전 이동은 정사각형을 다루는 문제에서 아주 쓸모있게 사용할 수 있습니다. 정사각형의 모든 변의 길이는 같고, 한 내각의 크기는 \(90^\circ\) 입니다. 만약 정사각형의 한 꼭짓점을 기준으로 정하면 그 꼭짓점과 인접한 꼭짓점의 개수는 \(2\)개입니다. 기준으로 정한 꼭짓점을 중심으로 그 꼭짓점과 인접한 꼭짓점을 \(90^\circ\) 회전 이동하면 기준점과 인접한 또 다른 꼭짓점과 일치하게 됩니다.  예를 들어 정사각형 \(\mathrm{ABCD}\) 에서 점 \(\mathrm{A}\)를 중심으로 점 \(\mathrm{B}\)를 시계 반대방향으로 \(90^\circ\) 회전이동하면 점 \(\mathrm{C}\)와 일치하게 됩니다. 

문제1(난이도:쉬움)

다음 정사각형 \(\mathrm{OABC}\)의 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{C}\)의 좌표를 구하시오.

풀이

꼭짓점 \(\mathrm{A}\)의 좌표를 \((p,q)\)라고 두겠습니다. 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 반시계 방향으로 \(90^o\) 회전이동 하면 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)와 일치하기 때문에 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \((-q,p)\) 가 되어야 합니다. 한편, 정사각형의 두 대각선 \(\mathrm{OB}\)의 중점 $$(\frac{-2+0}{2}, \frac{8+0}{2})=(-1,4)$$과 \(\mathrm{AC}\)의 중점 $$\left(\frac{p-q}{2}, \frac{q+p}{2}\right)$$은 일치해야 하므로 $$(-1,4)=(\frac{p-q}{2}, \frac{q+p}{2})$$이어야 합니다. 따라서 $$\begin{align}
p-q&=-2\\
p+q&=4
\end{align}$$$$\therefore (p,q)=(3, 5)$$입니다. 따라서 $$\mathrm{A}(3,5),\mathrm{C}(-5,3)$$

문제2(난이되:어려움)

다음 정사각형 \(\mathrm{OABC}\)의 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 구하시오.

풀이

이 문제는 [문제1]보다는 어려운 문제입니다. 이 글에서 풀이한 방법 이외에도 간결하고 직관적인 풀이가 존재합니다. 또 어떤 풀이가 있을지 생각해보시면 좋겠습니다. 

[문제1]과 마찬가지로, 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)를 원점을 중심으로 반시계 방향으로 회전하면 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)와 일치합니다. 꼭짓점 \(\mathrm{A}\) 좌표를 \((p,q)\)로 두고, 원점을 중심으로 반시계 방향으로 \(90^o\) 회전 이동하면 $$(p,q)\xrightarrow{+90^o회전이동}(-q,p)$$이므로 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \((-q,p)\)입니다.

점 \(\mathrm{B}\)는 직선 \(\mathrm{AB}\)와 직선 \(\mathrm{BC}\)의 교점입니다. 따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 구하기 위해서는 직선 \(\mathrm{AB}\)와 직선 \(\mathrm{BC}\)의 방정식을 구하고, 두 방정식을 연립하여 풀어주면 됩니다.

직선 \(\mathrm{AB}\) 는 직선 \(\mathrm{OC}\)와 평행하고, 점 \(\mathrm{A}(p,q)\)를 지나는 직선입니다. $$직선\mathrm{OC}의\ 기울기=\frac{p-0}{-q-0}=-\frac{p}{q}$$이므로  $$직선\mathrm{AB}:y-q=\frac{p}{q}(x-p)\tag{1}\label{eq1}$$ 마찬가지로, 직선 \(\mathrm{BC}\)는 직선 \(\mathrm{OA}\)와 평행하고, 점 \(\mathrm{C}(-q,p)\)를 지나는 직선입니다. $$직선\mathrm{OA}의\ 기울기=\frac{q-0}{p-0}=\frac{q}{p}$$이므로 $$직선\mathrm{BC}:y-p=\frac{q}{p}(x+q)\tag{2}\label{eq2}$$입니다. 문제에서 직선\(\mathrm{AB}\)는 점 \((10,0)\)을 지나고, 직선 \(\mathrm{BC}\)는 점 \((9,7)\)를 지나므로 이 두 점의 좌표를 각각 직선\(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\)의 방정식에 대입하면 $$\begin{align}
0-q&=-\frac{p}{q}(10-p) \\
7-p&=\frac{q}{p}(9+q)
\end{align}$$가 됩니다. 이 두 개의 식을 정리하면 $$\begin{align}
&p^2+q^2-7p+9q=0 \tag{3}\label{eq3}\\
&p^2+q^2-10p=0 \tag{4}\label{eq4}
\end{align}$$ 이고,  \(\eqref{eq3}\)-\(\eqref{eq4}\)를 하면 $$p=-3q$$를 얻을 수 있습니다. 이 결과를 \(\eqref{eq4}\)에 대입하면 $$\begin{align}
&(-3q)^2+q^2-10(-3q)=0\\
&\Leftrightarrow 10q^2+30q=0\\
&\Leftrightarrow 10q(q+3)=0\\
&\end{align}$$ 그런데 \(q<0\) 이므로 \(q=-3\) 입니다. 따라서 $$p=9,q=-3$$입니다. 이 결과를 다시 \(\eqref{eq1}\), \(\eqref{eq2}\)에 대입하면, $$\begin{align}
&직선\mathrm{AB}:y=3x-30\\
&직선\mathrm{BC}:y=-\frac{1}{3}x+10
\end{align}$$ 이 두 직선의 방정식을 연립하면 $$3x-30=-\frac{1}{3}x+10$$ $$\therefore x=12, y=6$$이므로$$\mathrm{B}(12,6)$$