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사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 갖고 있을 때, \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 이계도 함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$

관련 개념

• 삼차함수의 두 극점을 지나는 직선과 f(x)를 f'(x)로 나눈 나머지
• 포물선과 초점을 지나는 직선의 공식 3개 (포물선과 현)
• 이차곡선 문제의 핵심 전략 (1) – 2014학년도 9월 모의고사 19번

에서 사용한 수학적 기법을 사용합니다.

증명

\(f(x)\)를 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나눈 몫과 나머지가 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)이므로 $$f(x)=f^{\prime\prime}(x)Q(x)+R(x)\tag{1}\label{eq1}$$입니다. 그런데 \(f^{\prime\prime}(x)\)는 이차식이므로 몫 \(Q(x)\)는 이차식, 나머지 \(R(x)\)는 일차이하의 다항식 \(ax+b\)가 되어야 합니다.

한편, 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)의 좌표를 각각 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\) 라 하면, 변곡점의 성질에 의해 $$f^{\prime\prime}(\alpha)=f^{\prime\prime}(\beta)=0$$입니다. 식\(\eqref{eq1}\)의 \(x\)에 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 각각 대입하면, $$\begin{align}f(\alpha)&=f^{\prime\prime}(\alpha)Q(\alpha)+R(\alpha)=R(\alpha)\tag{2}\label{eq2}\\
f(\beta)&=f^{\prime\prime}(\beta)Q(\beta)+R(\beta)=R(\beta)\tag{3}\label{eq3}\end{align}$$ 그런데, $$R(x)=ax+b$$이므로 식\(\eqref{eq2}\)와 식\(\eqref{eq3}\)은 $$\begin{align}\color{red}{f(\alpha)}&=R(\alpha)=a\color{green}{\alpha}+b\\
\color{red}{f(\beta)}&=R(\beta)=a\color{green}{\beta}+b\end{align}$$로 다시 쓸 수 있습니다. 이 식은 두 변곡점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)의 좌표 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)가 방정식 $$\color{red}y=a\color{green}x+b$$의 근이 된다는 것을 의미합니다. 즉 직선 $$y=R(x)=ax+b$$는 두 변곡점을 지나고, 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하게 결정이 되므로 두 변곡점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)를 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$입니다. (삼차함수의 두 극점을 지나는 직선과 달리, 이 직선의 기울기 \(a=0\)이 될 수 있습니다. 사차함수 그래프의 두 변곡점의 \(y\)좌표는 같을 때도 있기 때문입니다.

예제

이 방법을 사용하면 직선의 방정식을 구하디 위해 변곡점의 좌표를 따로 구할 필요가 없습니다. 따라서 직선의 방정식을 빠르게 구할 수 있습니다.

\(f(x)=x^4-2x^2+x\)

$$f^{\prime\prime}(x)=12x^2-4$$ 입니다. 방정식 $$f^{\prime\prime}(x)=0$$을 해는 $$\pm{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$이므로 \(f(x)\)의 그래프는 두 개의 변곡점을 갖습니다. \(f(x)\)를 \(f^{\prime\prime}(x)\)로 나누면 $$x^4-2x^2+x=(12x^2-4)\left(\frac{1}{12}x^2-\frac{5}{36}\right)+x-\frac{5}{9}$$입니다. 따라서 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=x-\frac{5}{9}$$

대칭성

사차함수의 두 변곡점을 연결한 직선은 사차함수의 이중접선과 관계 있는 대칭성을 갖습니다. 이 대칭성에 관한 글을 곧 정리해서 올릴 예정입니다.