다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 특별한 의미를 갖고 있습니다. 특히, 삼차함수 \(f(x)\)를 그 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 할 때, 즉, $$f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)$$이면,
3차함수 \(f(x)\)의 두 극점을 연결한 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$
사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙
이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 다음과 같은 비율 관계를 갖고 있습니다.
사차함수의 그래프와 이중접선이 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)에서 접하고, 선분\(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{F}\), 이중접선과 평행한 직선이 사차함수의 그래프와 점\(\mathrm{E}\)에서 접하고 \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\)에서 만날 때,
[관계①]. 점\(\mathrm{E}\)의 \(x\)좌표=점\(\mathrm{F}\)의 \(x\)좌표
[관계②]. \(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}:\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=1:1:\sqrt{2}:\sqrt{2}\)
조립제법의 원리 – 나눗셈의 귀납적 관계
조립제법이란 다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지를 곱셈과 덧셈만을 반복하여 빠르게 구하는 방법입니다. 다항식을 일차식으로 나누면 특별한 귀납적 관계를 발견할 수 있습니다. 이 귀납적 관계를 핵심원리로 삼아 만들어진 방법이 바로 조립제법입니다. 이 글에서는 일차식의 나눗셈이 가지고 있는 귀납적 관계를 살펴보고 조립제법이 어떻게 이 원리를 사용하고 있는지 알아보겠습니다.
삼각부등식의 완전형
삼각형의 세 변의 길이를 \(a,b,c\)라고 하면, 세 변의 길이 관계에서 만들어지는 삼각부등식의 완전형은 다음과 같습니다.
$$|b-c|<a<b+c$$
이 글에서는 이 식의 증명과 의미를 살펴보고 활용 방법을 알아봅니다. (more…)소소하지만 확실한 테크닉 – 90도 회전이동
점 \(\mathrm{A}(a,b)\)를 원점 \(\mathrm{O}\)를 중심으로 반시계방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(+90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^\prime}\)과 시계 방향으로 \(90^\circ\) (또는 \(-90^\circ\)) 회전 이동한 점 \(\mathrm{A^{\prime\prime}}\)의 좌표는 각각 다음과 같습니다. $$\begin{align}&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{+90^\circ회전}\mathrm{A’}(-b,a)\\
&\mathrm{A}(a,b)\xrightarrow{-90^\circ회전}\mathrm{A^{\prime\prime}}(b,-a)\end{align}$$
구의 부피와 겉넓이 사이의 관계
반지름이 \(r\)인 구의 부피 \(V\)와 겉넓이 \(S\)는 각각 $$V=\frac{4}{3}\pi r^3, S=4\pi r^2$$입니다. 이 글에서는 구의 부피와 겉넓이의 관계를 살펴보고, 구의 부피를 이용해 구의 겉넓이가 \(4\pi r^2\)임을 유도해 보겠습니다.
함수와 역함수의 교점, 그리고 함수 순환의 예고편 – 2019학년도 6월 모의고사 나형 29번
2019학년도 6월 모의고사 29번은 역함수의 함정 Ⅱ, 함수와 역함수의 교점에서 언급한 성질을 아주 잘 보여주는 문제입니다. 이 글에서는 문제를 풀어보면서 함수와 역함수의 교점에 대한 성질을 어떻게 이용하는지 살펴보고 더 나아가 함수의 순환에 대해서도 간단히 언급해 보겠습니다.
①. 함수 \(f(x)\)가 증가함수이면, 함수 \(f(x)\)와 역함수 \(f^{-1}(x)\)의 모든 교점은 직선 \(y=x\)위에 존재한다.
②. 함수와 역함수의 교점이 \((a,b)\)이면, \((b,a)\)도 두 함수의 교점이다.
2019학년도 6월 모의고사 나형 29번
함수 $$f(x)=\begin{cases}
ax+b, & \text{$x\lt 1$}\\[2ex]
cx^2+\frac{5}{2}x, & \text{$x\geq 1$}
\end{cases}$$
이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프의 교점의 개수가 3이고, 그 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(-1\), \(1\), \(2\)일 때, \(2a+4b-10c\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
