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방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은

$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$

이 글에서는 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 설명하고, 몇가지 중요한 예들을 살펴봅니다.

관련 개념

원점을 중심으로 하는 그래프의 닮음 변환은  [그래프의 확대 및 축소 변환]을 사용합니다. \(x\)축 방향으로의 척도인자가 \(a\), \(y\)축 방향으로의 척도인자가 \(b\)일 때, 방정식 \(f(x,y)=0\)의  \(x\)와 \(y\)의 계수를 각각 \(a\)와 \(b\)의 역수 \(\dfrac{1}{a}\), \(\dfrac{1}{b}\)로 바꾸어주면 \(x\)축 방향으로 \(a\)배, \(y\)축 방향으로 \(b\)배 확대된 그래프의 방정식을 얻을 수 있습니다.

$$f(x,y)=0\xrightarrow{x\to\frac{1}{a}x, y\to\frac{1}{b}x}f\left(\frac{1}{a}x, \frac{1}{b}y\right)=0$$

닮음 변환의 종류

닮음 변환은 닮음의 중심\(\mathrm{O}\), 회전의 양을 나타내는 각도 \(\omega\), 거리의 배율을 나타내는 척도인자 (양수) \(k\)의 세 요소로 정의되는 변환입니다. 닮음 변환은 각도 \(\omega\)의 값에 따라 \(2\)가지로 나누어 생각할 수 있습니다.

\(\omega=0\) 일 때 : 중심 닮음 변환(homothety)

회전을 하지 않는 변환입니다. \(\omega=0\)이면 닮음의 중심으로부터 방향은 변하지 않고, 길이만 바뀌게 됩니다. 예를 들어 닮음의 중심을 점 \(\mathrm{O}\), 회전 각도 \(\omega=0\), 척도인자를 \(k\)로 하여 점 \(\mathrm{A}\)를 점 \(\mathrm{A’}\)로 옮기면,  다음과 같은 성질이 성립합니다.

$$\begin{align}
반직선\mathrm{OA}의 방향&=반직선\mathrm{OA’}의 방향\\
\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}&=1:k
\end{align}$$

변환 과정에서 회전이 되지 않기 때문에 확대 변환과 평행이동의 합성 만으로 중심 닮음 변환을 만드는 것이 가능합니다. 또한 원래의 도형과 변환된 도형의 대응점을 연결한 모든 직선은 닮음의 중심을 지나게 됩니다.

\(\omega\ne 0\) 일 때

닮음의 중심으로부터 거리 뿐 아니라 방향까지 바뀌는 닮음 변환입니다. 예를 들어 닮음의 중심을 \(\mathrm{O}\), 회전각의 크기를 \(\omega\), 척도인자를 \(k\)로 하는 닮음 변환에 의해 위 그림의 점 \(\mathrm{A}\)가 \(\mathrm{A’}\)로 옮겨질 때, 다음과 같은 성질을 만족합니다.

① : \(\angle{AOA_0}=60^\circ\)
② : \(\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:k\)

이 변환은 변환 과정에서 도형이 회전하기 때문에 확대 변환과 평행이동만으로 \(\omega\ne 0\)인 닮음 변환을 만드는 것은 불가능합니다. 중심 닮음 변환과는 달리, 원래의 도형과 변환된 도형의 대응점을 연결한 직선은 \(\omega=180^\circ\) 일 때를 제외하고는 닮음의 중심을 지나지 않습니다. 예를 들어 위 그림에서 \(\mathrm{AA’}\)는 닮음의 중심 점 \(\mathrm{O}\)를 지나지 않습니다. 

원점을 중심으로 하는 닮음 변환

이제 원점을 중심으로 하는 닮음 변환에 대해 이야기 해보겠습니다. 원점을 중심으로 하는 닮음 변환은 회전 각도 \(\omega=0\)인 중심 닮음 변환입니다. 따라서 척도인자를 \(k\)로 하여 방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 변환하면, 방정식 \(f(x,y)=0\) 위의 임의의 점 \(\mathrm{P}\)와 변환에 의해 이동한 점 \(\mathrm{P’}\)사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

$$\begin{align}
반직선\mathrm{OP}의 방향&=반직선 \mathrm{OP’}\\
\mathrm{OP}:\mathrm{OP’}&=1:k\\
\end{align}$$

이와 같은 변환은 점 \(\mathrm{P}\)를 \(x\)축 방향으로 \(k\)배, \(y\)축 방향으로 \(k\)배가 되도록 확대변환을 하면 얻을 수 있습니다. 따라서 [그래프의 확대 및 축소 변환]에 의해, 방정식 \(f(x,y)=0\)의 그래프를 원점을 중심으로 \(k\)배 (\(k>0\)) 닮음 변환한 그래프의 방정식은

$$f\left(\frac{x}{k}, \frac{y}{k}\right)=0$$

입니다.

예

원점에서 \(x\)축에 접하는 원의 방정식

원점에서 \(x\)축에 접하는 원의 방정식 $$x^2+(y-1)^2=1$$을 원점을 중심으로 \(2\)배 닮음 변환하면, $$\begin{align}
&\left(\frac{x}{\color{red}{2}}\right)^2+\left(\frac{y}{\color{red}{2}}-1\right)^2=1\\
&\Rightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{(y-2)^2}{4}=1\\
&\Rightarrow x^2+(y-2)^2=4\\
&\Rightarrow x^2+(y-2)^2=2^2
\end{align}$$ 이 원 역시 원점에서 \(x\)축에 접하고 있으므로 두 원은 원점에서 접하게 됩니다. 이렇듯 두 원이 내접할 때, 두 원의 접점은 닮음의 중심이 됩니다. 즉, $$\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:2$$

포물선

포물선 \(y=x^2\)을 원점을 중심으로 \(2\)배 닮음 변환하면 $$\begin{align}
&\left(\frac{y}{\color{red}{2}}\right)=\left(\frac{x}{\color{red}{2}}\right)^2\\
&\Rightarrow y=\frac{1}{2}x^2\\
\end{align}$$ 두 포물선 \(y=x^2\)과 \(y=\dfrac{1}{2}x^2\)은 닮음비가 \(1:2\)인 닯음이고, 닮음의 중심은 원점이 됩니다. 즉, $$\mathrm{OA}:\mathrm{OA’}=1:2$$이고, 이것을 일반화 하면, 두 포물선 \(y=ax^2\) \((a>0)\)과 \(y=bx^2\) \((b>0)\)은 닮음비가 \(b:a\)인 닮음 관계에 있습니다. 이 성질은 무척 중요한 성질이므로 별도의 글에서 따로 다루어 보겠습니다.