사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선으로 둘러싸인 세 부분의 넓이의 비는 다음과 같습니다.
$$S_1:S_2:S_3=1:2:1$$
관련 글
준비물
이중접선 \(y=mx+n\)을 갖는 사차함수 \(f(x)\)의 식
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이중접선 \(l_3\)의 방정식이 $$y=mx+n$$이고, 직선 \(l_3\)와 접하는 두 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(-\alpha\), \(\alpha\)인 사차함수 $$f(x)=x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n$$
사차함수 \(f(x)\)의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식
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사차함수 \(f(x)\)의 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 \(l\)의 방정식은 $$y=R(x)=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4$$
사차함수와 변곡점을 지난 직선 \(l\)의 교점
관련 글 : 사차함수의 두 변곡점을 지나는 직선 – f(x)를 f”(x)로 나눈 나머지
사차함수 \(f(x)\)의 그래프와 직선 \(l\)의 네 교점 \(\mathrm{H}\), \(\mathrm{I}\), \(\mathrm{J}\), \(\mathrm{K}\)의 좌표는 각각
$$\begin{align}
&\mathrm{H}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{I}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{J}\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, f\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{K}\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)
\end{align}$$
넓이의 비율계산
\(S_1\), \(S_2\), \(S_3\)모두 사차함수 \(f(x)\)와 직선 \(l\)로 둘러싸여 있으므로 사차함수 \(f(x)\)와 직선 \(l\)의 차 $$\begin{align}
&|f(x)-(mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4)|\\
&=|x^4-2\alpha^2x^2+mx+n+\alpha^4-mx-n-\frac{4}{9}\alpha^4|\\
&=|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|\\
\end{align}$$을 정적분하여 구할 수 있습니다.
\(S_1\)
점 \(\mathrm{J}\)와 \(\mathrm{I}\)의 \(x\)좌표가 각각 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\), \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\)이고, 구간 \(\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\)에서 직선 \(l\)은 항상 \(f(x)\)의 그래프보다 위에 있으므로 $$\begin{align}
S_1&=\int_{\frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{\frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{-\sqrt{3}}\alpha}-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3-\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$
\(S_2\)
점 \(\mathrm{H}\)와 \(\mathrm{I}\)의 \(x\)좌표가 각각 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\), \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\)이고, 구간 \(\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\)에서 직선 \(l\)은 사차함수 \(f(x)\)의 그래프보다 아래에 있으므로 $$\begin{align}
S_2&=\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=2\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}\alpha^2x^3+\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{32}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$
\(S_3\)
점 \(\mathrm{I}\)와 \(\mathrm{K}\)의 \(x\)좌표가 각각 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\), \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\)이고, 구간 \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\)에서 직선 \(l\)이 사차함수 \(f(x)\)의 그래프보다 위에 있으므로 $$\begin{align}
S_3&=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3-\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{3}\label{eq3}
\end{align}$$ 또는 정적분해야 하는 식 $$-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4$$의 그래프가 \(y\)축 대칭이고, \(S_3\)의 적분구간 역시 \(S_1\)의 적분구간과 \(y\)축 대칭이므로 정적분의 계산을 하지 않고도 \(S_3=S_1\) 라는 것을 알아낼 수 있습니다.
비율계산
\(\eqref{eq1}\), \(\eqref{eq2}\), \(\eqref{eq3}\)에 의해, $$\begin{align}
S_1:S_2:S_3&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5:\frac{32}{45\sqrt{3}}\alpha^5:\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\\
&=1:2:1\end{align}$$