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이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)위에 있는 세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)의  \(x\)좌표가 각각 \(p\),\(q\),\(r\)이라 할 때, (단,  \(p<q<r\)) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는

$$\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)$$

증명의 준비물

[이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 고속적분]을 이용합니다. 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)와 직선이 만나는 두 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때,  (단, \((p<q)\) 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$

증명

[STEP 1]. 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하기

세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 다음과 같은 부분의 넓이를 이용해서 구할 수 있습니다.

① : 이차함수와 직선 \(\mathrm{PR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-p)^3$$

②: 이차함수와 직선 \(\mathrm{PQ}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$ 라 하면,

③: 이차함수와 직선 \(\mathrm{QR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-q)^3$$ 입니다.

[STEP 2].①-②-③ 계산하기

따라서 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이는 ①-②-③ 을 계산하면 얻을 수 있습니다.  $$\begin{align}
&\triangle{\mathrm{PQR}}\\
&=①-②-③\\
&=\frac{|a|}{6}\{(r-p)^3-(q-p)^3-(r-q)^3\}\\
&=\frac{|a|}{6}\{\underbrace{(r-p)^3}_{A}+\underbrace{(p-q)^3}_{B}+\underbrace{(q-r)^3}_{C}\}\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$ 입니다. 식 \(\eqref{eq1}\)에서, $$\begin{align}
&r-p=A\\
&p-q=B\\
&q-r=C\\
\end{align}$$이라 두면, $$\begin{align}
&A+B+C\\
&=(r-p)+(p-q)+(r-q)\\
&=0\end{align}$$이므로 $$\begin{align}
&식\eqref{eq1}\\
&=\frac{|a|}{6}(A^3+B^3+C^3)\\
&=\frac{|a|}{6}\{(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)-3ABC\}\\
&=\frac{|a|}{6}(-3ABC)\\
&=\frac{|a|}{2}\{-(r-p)(p-q)(r-q)\}\\
&=\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)\\
\end{align}$$ 입니다.

또는 \(p\), \(q\), \(r\)의 크기와 관계없이 사용하려면 $$\frac{|a|}{2}|(p-q)(q-r)(r-p)|$$을 사용할 수도 있습니다.