이차함수위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이

이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)위에 있는 세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)의  \(x\)좌표가 각각 \(p\),\(q\),\(r\)이라 할 때, (단,  \(p<q<r\)) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는

$$\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)$$

증명의 준비물

[이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 고속적분]을 이용합니다. 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)와 직선이 만나는 두 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(p\), \(q\)라 할 때,  (단, \((p<q)\) 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$

증명

[STEP 1]. 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하기

세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 다음과 같은 부분의 넓이를 이용해서 구할 수 있습니다.

① : 이차함수와 직선 \(\mathrm{PR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-p)^3$$

②: 이차함수와 직선 \(\mathrm{PQ}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(q-p)^3$$ 라 하면,

③: 이차함수와 직선 \(\mathrm{QR}\)로 둘러 싸인 부분의 넓이$$\frac{|a|}{6}(r-q)^3$$ 입니다.

[STEP 2].①-②-③ 계산하기

따라서 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이는 ①-②-③ 을 계산하면 얻을 수 있습니다.  $$\begin{align}
&\triangle{\mathrm{PQR}}\\
&=①-②-③\\
&=\frac{|a|}{6}\{(r-p)^3-(q-p)^3-(r-q)^3\}\\
&=\frac{|a|}{6}\{\underbrace{(r-p)^3}_{A}+\underbrace{(p-q)^3}_{B}+\underbrace{(q-r)^3}_{C}\}\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$ 입니다. 식 \(\eqref{eq1}\)에서, $$\begin{align}
&r-p=A\\
&p-q=B\\
&q-r=C\\
\end{align}$$이라 두면, $$\begin{align}
&A+B+C\\
&=(r-p)+(p-q)+(r-q)\\
&=0\end{align}$$이므로 $$\begin{align}
&식\eqref{eq1}\\
&=\frac{|a|}{6}(A^3+B^3+C^3)\\
&=\frac{|a|}{6}\{(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)-3ABC\}\\
&=\frac{|a|}{6}(-3ABC)\\
&=\frac{|a|}{2}\{-(r-p)(p-q)(r-q)\}\\
&=\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)\\
\end{align}$$ 입니다.

또는 \(p\), \(q\), \(r\)의 크기와 관계없이 사용하려면 $$\frac{|a|}{2}|(p-q)(q-r)(r-p)|$$을 사용할 수도 있습니다.

9 Comments
oldest
newest
Inline Feedbacks
View all comments
조호영
4 years ago

이거도 문제풀다가 유도했었는데, 확실히 편하더라고요.
늘 좋은 글 감사합니다^

김산
4 years ago

식 (1)에서 -3ABC가 아니라 +3ABC 아닌가요..?

대학생
3 years ago

오~ 이런 응용은 생각도 못 했네요!! 그런데 이걸 고교 수학에서 요긴하게 써먹을 때가 잘 없을 것 같네요 ^^;; 좋은 글 많이 읽고 갑니다

대학생
3 years ago
Reply to  대학생

그러면 계속해서 이차함수 그래프 위의 네 점을 이은 사각형의 넓이도 구할 수 있고, 계속 확장할 수 있겠네요.

대학생
3 years ago
Reply to  대학생

그런데 마지막에 절댓값 붙인 식은 필요없지 않나요? p<q<r이므로 공식 자체가 0보다 크다는 사실만 알려주면 될 것 같습니다.

박은찬
3 years ago

중학교 3학년인데 이차함수 안에 들어가는 삼각형의 넓이를 적분을 이용하는 방법이 있지 않을까 해서 찾아봤는데 있네요. 정말 유익한 글이였어요.

noelsangsoo
11 months ago

감사합니다

Last edited 11 months ago by noelsangsoo