godingMath

$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 가 성립할 때 점 \(P\)를 \(\triangle{ABC}\)의 가중 무게 중심이라고 합니다.  또한  $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$가 됩니다. 이 글에서는 선분과 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾는 법과 가중 무게 중심의 위치 벡터, 삼각형의 넓이비에 대해서 알아보겠습니다.

가중 무게 중심이란 무엇인가?

[관련글]→사각형의 가중 무게 중심의 위치

시소의 균형점

같은 무게를 가진 두 사람이 시소의 양끝에 앉을 때 시소의 균형점은 어디일까요? (시소 자체의 무게는 무시하겠습니다.) 당연히 이 균형점의 위치는 시소 한 가운데 일 것입니다. 그렇다면 만약 두 사람의 무게가 서로 다르다면 시소의 균형점의 위치는 어디가 될까요? 이럴 때에는 균형점의 위치가 시소 한 가운데가 아닌 무거운 사람 쪽에 가까워 진다는 것을 경험을 통해 잘 알고 있습니다. (즉. 무거운 사람으로부터 시소의 균형점까지의 길이가 가벼운 사람으로부터 균형점까지의 길이보다 더 짧아지게 됩니다.)  예를 들어 만약 무게의 비가 \(1:2\)인 두 사람이 시소의 양 끝에 앉아 있을 때, 균형점의 위치는 시소의 길이를 (두 사람의 무게의 역수에 비례하는) \(2:1\)로 내분하는 곳이 됩니다.

가중 무게중심과 벡터

이처럼 시소 양끝에 앉아 있는 두 사람의 무게가 다를 때 시소의 균형점을 가중 무게 중심이라고 합니다. 만약 시소를 선분 \(AB\)라고 생각하고 시소의 양끝 \(A\)와 \(B\)에 앉아 있는 두 사람의 무게비가 각각 \(1:2\)라고 두면, 균형점 \(P\)는 선분 \(AB\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이 됩니다. 따라서 점 \(P\)를 시점으로 하는 두 벡터 \(\overrightarrow{PA}\)와 \(\overrightarrow{PB}\) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립합니다.$$\color{red}1\overrightarrow{PA}+\color{red}2\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$$

마찬가지로 다각형의 각 꼭짓점에 매달린 추의 무게가 다를 때 다각형의 균형점을 다각형의 가중 무게 중심이라고 합니다. 다각형의 가중 무게 중심을 점 \(P\)로 하면, 선분의 가중 무게 중심과 마찬가지로,  \(P\)를 시점으로 하고 다각형의 꼭짓점을 종점으로 하는 벡터사이에 존재하는 관계식을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 \(\triangle{ABC}\)의 세 꼭짓점 \(A,\ B\, C\)에 달려 있는 추의 무게가 \(a,\ b,\ c\) 이고, 가중 무게 중심을 점 \(P\)일 때, 다음과 같은 식이 성립합니다. $$\color{red}a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 물론 다각형의 꼭짓점에 같은 무게의 추가 달려 있을 때 무게 중심의 위치도 가중 무게 중심으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 \(\triangle{ABC}\)의 무게 중심을 \(P\)라 하면, $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$이 성립하는데, 이 식을$$1\overrightarrow{PA}+1\overrightarrow{PB}+1\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$라고 보면 무게 중심 점 \(P\)는 세 꼭짓점에 달려있는 추의 무게가 모두 1인 삼각형의 가중 무게 중심이라고 해석할 수 있습니다.

가중 무게 중심의 위치를 찾는 것이 중요한 이유는 일단 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾고 나면 가중 무게 중심인 점 \(P\)의 위치 벡터나 선분들의 비, 삼각형의 넓이비등을 아주 쉽게 구할 수 있기 때문입니다. 삼각형의 가중 무게 중심을 찾기 위해서는 다음과 같이 먼저 삼각형의 세 변의 가중 무게 중심을 찾아 놓아야 합니다.

선분의 가중 무게 중심

\(\overline{AB}\) 의 양 끝 \(A, B\) 에 각각 \(a, b\)의 무게추가 달려있을 때, 무게 중심의 위치는 \(\overline{AB}\) 를 \(b:a\) 로 내분하는 점이다. 또한 선분을 입자로 생각했을 때 이 입자의 무게는 선분 양 끝 무게추의 합인 \(a+b\)가 된다.

가중 무게 중심의 위치가 이렇게 결정 되는 이유는 \(\overline{AB}\) 의 양 끝 \(A, B\) 에 각각 \(a, b\)의 무게추가 달려있을 때, 돌림힘(=힘의 모먼트 또는 토크)의 평형이 이루어지는 위치가 바로 \(\overline{AB}\) 를 \(b:a\)로 내분하는 점이 되기 때문입니다.

또한 선분을 입자로 생각했을 때, 그 입자의 위치는 가중 무게 중심이 되며, 가중 무게 중심에 쏠린 무게는  선분 양 끝에 달려있는 두 무게추의 합과 같다고 생각할 수 있습니다. 앞서의 예로 계속 설명하면 현재 선분의 양쪽 끝에 \(a, b\)의 무게추가 달려있을 때, 선분을 입자로 생각한다면 모든 무게의 합 \(a+b\)가 가중 무게 중심의 위치에서 작용한다고 생각할 수 있으므로 이 입자의 무게는 \(a+b\)로 표시할 수 있습니다.

삼각형의 가중 무게 중심

다음으로 삼각형의 가중 무게 중심의 위치를 찾아 보겠습니다.

$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 라는 식이 주어지면, 다음 그림처럼 먼저 \(\triangle ABC\)를 그린 다음, 삼각형의 각 꼭짓점 \(A,B,C\)위에 \(a,b,c\)를 적어둡니다. 이 숫자는 각 꼭짓점에 달린 추의 무게를 의미합니다. 이 때 꼭짓점에 달린 추의 무게를 찾는 규칙은 다음과 같습니다.

\(\color{#C00}{a}\overrightarrow{P\color{#c00}{A}}\) : 꼭짓점 \(A\)에는 \(a\)

\(\color{#00f}{b}\overrightarrow{P\color{#00f}{B}}\) : 꼭짓점 \(B\)에는 \(b\)

\(\color{#0f0}{c}\overrightarrow{P\color{#0f0}{C}}\) : 꼭짓점 \(C\)에는 \(c\)

이제 삼각형의 꼭짓점에 적어준 숫자를 세 꼭짓점에 매달린 추의 무게로 생각해  \(\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}\) 의 가중 무게 중심 \(D, E, F\) 의 위치를 찾고, 선분 양 끝에 달린 무게의 합을 가중 무게 중심 밑에 적어 줍니다. 현재 \(\overline{BC}\)의 양 끝에는 \(b, c\)의 무게 추가 매달려 있는 상태이므로 \(\overline{BC}\)의 가중 무게 중심의 위치는 \(\overline{BC}\)를 \(c:b\)로 내분하는 점 \(D\) 가 됩니다. 그리고 선분 양 끝에 매달려 있는 두 무게추의 합 \(b+c\)를 점 \(D\) 밑에 적어둡니다.

\(\overline{CA}, \overline{AB}\)의 가중 무게 중심\(E, F\) 의 위치와 무게도 같은 방법으로 찾아줍니다. 이 때  세 선분 \(\overline{AD}, \overline{BE}, \overline{CF}\)는 한 점에서 만나게 됩니다.  이 점이 바로 $$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$을 만족하는 점 \(P\)의 위치이며 이 삼각형의 가중 무게 중심이 됩니다.

그리고 점 \(P\)는 \(\overline{AD}, \overline{BE}, \overline{CF}\) 를 내분하고 있고 세 선분의 가중무게 중심이기도 합니다. 세 선분의 끝인 점 \(A,D,B,E,C,F\) 밑에 적어둔 무게를 확인하면  점 \(P\)는 세 선분을 다음과 같은 비율로 내분하는 것을 알 수 있습니다.

\(\overline{AP}:\overline{PD}=b+c:a\)

\(\overline{BP}:\overline{PE}=c+a:b\)

\(\overline{CP}:\overline{PF}=a+b:c\)

점 \(P\) 의 위치벡터

$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$ 일 때, 점 \(P\)의 위치 벡터는 어떻게 정해질까요? 가중 무게 중심을 이용하면 \(P\)의 위치 벡터를 아주 쉽게 찾을 수 있습니다. 먼저 삼각형의 꼭짓점 \(A\)를 기준으로 하여 점\(P\)의 위치를 찾아보겠습니다.

점 \(D\)는 \(\overline{BC}\)를 \(c:b\)로 내분하는 점이므로 $$\overrightarrow{AD}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$$이고, 또한 점 \(P\)는 \(\overline{AD}\)를 \(b+c:a\)로 내분하는 점이므로 $$\require{cancel}\overrightarrow{AP}=\frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{AD}=\frac{\cancel{b+c}}{a+b+c}\frac{b}{\cancel{b+c}}\overrightarrow{AB}+\frac{\cancel{b+c}}{a+b+c}\frac{c}{\cancel{b+c}}\overrightarrow{AC}$$$$=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$$ 가 됩니다. 같은 방법으로 점 \(B\) 와 점 \(C\)를 기준으로 하여 점 \(P\)의 위치벡터를 찾아 줄 수 있습니다. $$\overrightarrow{BP}=\frac{c+a}{a+b+c}\overrightarrow{BE}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{BA}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{BC}$$ $$\overrightarrow{CP}=\frac{a+b}{a+b+c}\overrightarrow{BE}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB}$$

넓이 비

다음으로 삼각형의 넓이비를 알아보겠습니다.

$$a\overrightarrow{PA}+b\overrightarrow{PB}+c\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$$일 때, $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$

\(\triangle{ABC}\)의 넓이를 \(S\)라 하면 $$\overline{AD}:\overline{PD}=a+b+c:a$$ 이므로 $$\triangle{PBC}=\frac{a}{a+b+c}\triangle{ABC}=\frac{a}{a+b+c}S$$

같은 방법으로 $$\triangle{PCA}=\frac{b}{a+b+c}\triangle{ABC}=\frac{b}{a+b+c}S$$$$\triangle{PAB}=\frac{c}{a+b+c}\triangle{ABC}=\frac{c}{a+b+c}S$$ $$\therefore \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c$$

 

[문제]

\(3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}\)을 만족하는 \(\triangle{ABC}\)와 점\(P\)가 있다. 이 때,

1. 점 \(P\)의 위치를 구하시오.
2. \(\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=a:b:c\)를 구하시오.

[풀이]

가중 무게 중심을 이용하면 이 문제를 매우 쉽게 풀 수 있습니다.

먼저 P의 위치를 알아보겠습니다.

• 삼각형의 각 꼭짓점 \(A, B, C\)위에 추의 무게를 나타내는 숫자 \(3, 4, 5\)를 적어둡니다.
• \(\overline{BC}\)를 \(5:4\)로 내분하는 점을 \(D\)라 하고  \(9=4+5\)를 점 밑에 적습니다.
• \(\overline{CA}\)를 \(3:5\)로 내분하는 점을 \(E\)라 하고  \(8=3+5\)을 점 밑에 적습니다.
• \(\overline{AB}\)를 \(4:3\)로 내분하는 점을 \(F\)라 하고  \(7=3+4\)를 점 밑에 적습니다.

따라서 점 \(P\)는 \(\overline{AD}\)를 \(9:3=3:1\)로, \(\overline{BE}\)를 \(8:4=2:1\)로, \(\overline{CF}\)를 \(7:5\)로 내분하는 점이 됩니다.

다음으로 세 삼각형의 넓이의 비는 앞서 언급한 삼각형의 무게비를 구하는 방법에 의해 간단하게  $$\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=3:4:5$$가 된다는 것을 알 수 있습니다.

비법공식인가?

이 식은 물리에서 무게중심을 공부하면서 한번쯤은 보게 되는 식입니다. 소수의 사람만이 알고 있는 비법이라고 하기에는 많이 알려져 있기도 하지만 잘 사용하면 특정한 유형의 문제에는 쉽고 빠르게 답을 얻을 수 있는 방법이라서 소개해 보았습니다. 하지만 비법 공식보다 중요한 것은 원리와 개념입니다!