소소하지만 확실한 테크닉 – 정적분의 위끝과 아래끝 변환

수열의 합과 마찬가지로 정적분에서도 위끝과 아래끝을 변환하는 방법이 있습니다.

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$

이 테크닉 역시 위 끝과 아래 끝이 복잡한 정적분을 간단히 계산하는데 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 이 테크닉의 원리와 활용을 설명합니다.

테크닉의 원리

기본적인 모습은 수열의 합의 위끝과 아래끝을 바꾸는 것과 마찬가지입니다. 적분하려는 함수가 사용하는 적분변수의 값에 p를 더하면 위끝과 아래끝은 반대로 p를 빼주어야 합니다.

이 테크닉이 성립하는 이유는 쉽게 이해할 수 있습니다. 그래프를 이용하여 설명할 수도 있고 치환적분을 이용하여 설명할 수 도 있습니다.

그래프를 이용한 방법

편의상 닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 그래프는 항상 x축 위쪽에 그려진다고 가정하겠습니다. 이 때 정적분$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$은 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 나타냅니다. 자, 이제 이 색칠한 부분을 왼쪽으로 p (p>0) 만큼 통채로 이동시켜 보겠습니다. 왼쪽으로 p만큼 이동한 함수의 그래프는 $$y=f(x)\to y=f(x+p)$$으로 바뀌게 됩니다. 그렇다면 위끝과 아래끝의 위치는 어떻게 변할까요? 왼쪽으로 p만큼 이동하였으므로 위끝과 아래끝의 위치는 원래 위치에서 p만큼 빼준 곳이 됩니다. 즉, 위끝은 $$a\to a-p$$가 되고, 아래끝 $$b\to b-p$$가 됩니다. 따라서 $$\int_{a}^{b}f(x)dx\to\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$가 됩니다.

치환적분을 이용한 방법

$$t=x-p$$로 치환합니다. 이렇게 하면 $$x=t+p,\ dx=dt$$가 되고, 적분 구간의 위끝과 아래끝은 각각$$x:a\to b$$$$t:a-p\to b-p$$이므로 이 결과를 원래 적분 결과에 대입하면$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-p}^{b-p}f(t+p)dt=\int_{a-p}^{b-p}f(x+p)dx$$

테크닉의 활용

이 테크닉의 가장 유명한 활용은$$\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{-a}{6}(\beta-\alpha)^3$$임을 보이는 것입니다. 이 공식은 이차함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는데 쓰입니다. 이 글에서 설명한 테크닉을 적먼저 적분변수 x에 α를 더하고, 반대로 위끝과 아래끝은 변수와는 반대로 α만큼 빼줍니다. 즉, $$x\to x+\alpha$$로 바꾸어주면, 적분하려는 함수$$\begin{align}a(x-\alpha)(x-\beta)&\to a(x+\alpha-\alpha)(x+\alpha-\beta)\\&=ax(x+(\alpha-\beta))\end{align}$$로 바뀌게 되므로,$$\begin{equation}\begin{aligned}
&\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\
&=\int_{0}^{\beta-\alpha}ax(x+(\alpha-\beta))dx\\
&=a\int_{0}^{\beta-\alpha}x^2-(\beta-\alpha)xdx\\
&=a\left(\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{(\beta-\alpha)}{2}x^2\right]_{0}^{\beta-\alpha}\right)\\
&=a\left(\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^3-\frac{(\beta-\alpha)}{2}(\beta-\alpha)^2\right)\\
&=a\left(\frac{2}{6}(\beta-\alpha)^3-\frac{3}{6}(\beta-\alpha)^3 \right)\\
&=\frac{-a}{6}(\beta-\alpha)^3
\end{aligned}\end{equation}$$