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\(\alpha\)가 정수이고, \(n\)이 자연수 일때,

$$\int_{\alpha}^{\alpha+n}f(x)dx\to\sum_{k=1}^{n}a_k$$$$a_k=\int_{\alpha+k-1}^{\alpha+k}f(x)dx$$

테크닉의 원리

이 테크닉의 다음과 같은 정적분의 성질을 이용한 것입니다.

임의의 실수 \(a\), \(b\), \(c\) 를 포함하는 구간에서 함수 \(f(x)\) 가 연속일 때, $$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$$

이 정적분의 성질을 이용하면 위끝과 아래끝이 모두 정수이고, 적분구간의 길이가 \(n\) 인 정적분 $$\int_{\alpha}^{\alpha+n}f(x)dx$$를 적분 구간의 길이가 1인 정적분 \(n\)개의 합으로 바꾸어 나타낼 수 있습니다. $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\alpha+n}f(x)dx\\&=\int_{\alpha}^{\alpha+1}f(x)dx+\int_{\alpha+1}^{\alpha+n}f(x)dx\\
&=\int_{\alpha}^{\alpha+1}f(x)dx+\int_{\alpha+1}^{\alpha+2}f(x)dx+\int_{\alpha+2}^{\alpha+n}f(x)dx\\
&=\int_{\alpha}^{\alpha+1}f(x)dx+\int_{\alpha+1}^{\alpha+2}f(x)dx+…+\int_{\alpha+n-1}^{\alpha+n}f(x)dx\\
\end{align}$$ 만약 $$\int_{\alpha+k-1}^{\alpha+k}f(x)dx=a_k$$로 수열화 한다면$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\alpha+1}f(x)dx+\int_{\alpha+1}^{\alpha+2}f(x)dx+…+\int_{\alpha+n-1}^{\alpha+n}f(x)dx\\
&=a_1+a_2+…+a_n\\
&=\sum_{k=1}^{n}a_k\end{align}$$ 과 같이 정적분을 수열의 합으로 바꿀 수 있습니다. 특히, 아래끝이 0(즉, \(\alpha=0\))인 정적분은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

$$\int_{0}^{n}f(x)dx\to\sum_{k=1}^{n}a_k$$$$a_k=\int_{k-1}^{k}f(x)dx$$

테크닉의 활용

이 테크닉은 어려운 문제를 여러 개의 작은 문제로 푸는 분할정복(divide and conquer)기법으로 분류할 수 있습니다. 이 테크닉은 문제 풀이의 마지막 단계에서 사용되기 보다는 처음 단계나 중간 단계에서 답을 구하기 위한 준비 과정으로 사용되는 경우가 많습니다.

이 테크닉을 사용하면, 적분구간의 길이를 1로 줄임으로써 한번에 계산하기 어려운 정적분이 좀 더 쉬운 \(n\)개의 정적분으로 바뀌게 됩니다. 대신 계산해 주어야 할 정적분의 개수가 \(n\)개로 늘어나기 때문에 합을 구하는 과정에서 복잡도가 커질 수 있습니다. 이 때에는 정적분의 결과를 수열의 일반항으로 나타내면 수열의 합을 구할 때 복잡도를 낮추어 줄 수 있습니다. 이렇게 수열의 합을 구하느 과정에서 발생할 수 있는 복잡도에도 불구하고, 이 테크닉을 사용해야 하는 이유는 정적분이 쉬워지는 것에서 얻는 장점이 단점을 충분히 상쇄하고도 남기 때문입니다. 이 테크닉을 사용하여 다음 관련 문제를 풀어보시면 좋을 것 같습니다.

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