godingMath

3변수 교대식은 3개의 문자중에서 어떤 2문자를 바꾸어 대입하여 계산하더라도 원래의 식과 그 부호가 반대로 되는 식입니다. 즉 3문자 교대식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족합니다. $$\begin{align}f(x,y,z)&=-f(y,x,z)\\&=-f(x,z,y)\\&=-f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 교대식의 인수분해는 다음과 같은 교대식의 중요한 성질을 이용합니다.

3변수 교대식$$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 인수분해가 되고, 이때 \(g(x,y,z)\)는 대칭식이 된다.

증명 : 교대식의 성질

이러한 교대식의 성질은 교대식의 정의와 인수정리를 사용하여 보일 수 있습니다. 먼저 \(x-y\)를 인수로 가지는 것을 보이겠습니다. 이 것을 보일 수 있다면 같은 방법으로 3변수 교대식 \(f(x,y,z)\)는 \(y-z\) 와 \(z-x\) 를 인수로 갖는 것을 보일 수 있게 됩니다.

\(x-y\)를 인수로 가지는 이유

3변수 교대식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 와 \(y\)를 바꾸어 계산하면, 교대식의 정의에 의해 원래식과 그 부호가 반대가 됩니다. 즉 $$f(y,x,z)=-f(x,y,z)\iff f(x,y,z)+f(y,x,z)=0\tag{1}\label{eq1}$$이 됩니다. 식\(\eqref{eq1}\)은 항등식이므로 식\(\eqref{eq1}\)에 \(x\leftarrow y\) 를 대입하면 $$f(y,y,z)+f(y,y,z)=0\Rightarrow 2f(y,y,z)=0$$$$\therefore f(y,y,z)=0$$을 얻을 수 있습니다.  \(x\) 에 \(y\)를 대입하여 계산하면 0이 되기 때문에, 3변수 교대식 \(f(x,y,z)\)는 인수정리에 의해 \((x-y)\)를 인수로 가집니다. 다음으로  \(g(x,y,z)\) 가 대칭식이 되는 것을 보이겠습니다.

\(g(x,y,z)\)가 대칭식이 되는 이유

앞서 증명한 사실에 의해 $$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 인수분해가 됩니다. 대칭식의 정의에 의해, \(x\) 와 \(y\)를 바꾸면, $$f(x,y,z)=-f(y,x,z)\tag{2}\label{eq2}$$이고, $$\begin{align}f(x,y,z)&=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)\\f(y,x,z)&=(y-x)(x-z)(z-y)\cdot g(y,x,z)\end{align}$$이므로 이것을 식\(\eqref{eq2}\)에 대입하면 $$\begin{align}(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)&=-(y-x)(x-z)(z-y)\cdot g(y,x,z)\\&=(x-y)(z-x)(y-z)\cdot g(y,x,z)\end{align}$$$$\therefore g(x,y,z)=g(y,x,z)$$가 됩니다. 따라서 3변수 대칭식의 성질(→3변수 대칭식의 인수분해)에 의해 \(g(x,y,z)\) 는 대칭식입니다.

교대식의 인수분해

교대식의 성질을 이용한 인수분해는 대략 다음과 같은 순서를 따릅니다.

1. 교대식인 것을 확인
2. 교대식의 성질을 이용해 \(f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)\) 로 두기
3. \(f(x,y,z)\) 의 차수를 보고 대칭식 \(g(x,y,z)\)의 차수를 결정
4. 좌변과 우변의 특정한 항을 비교하여 대칭식 \(g(x,y,z)\) 구하기

유명한 교대식 2개의 인수분해 문제를 예를 들어 이 과정을 설명하겠습니다.

문제1

\(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)를 인수분해 하시오

풀이1

STEP1:교대식 확인

$$f(x,y,z)=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$$로 정의하면,
$$\begin{align}f(y,x,z)&=y^2(x-z)+x^2(z-y)+z^2(y-x)\\
&=-y^2(z-x)-x^2(y-z)-z^2(x-y)\\
&=-\{x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\}\\&=-f(x,y,z)\end{align}$$ 이므로 식 \(f(x,y,z)\) 는 교대식입니다.

STEP2, STEP3, STEP4

교대식의 성질에 의해, $$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$ 로 둘 수 있습니다. 즉 $$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 쓸 수 있습니다. 이식의 좌변은 \(x\), \(y\), \(z\) 에 대한 3차식이고, \((x-y)(y-z)(z-x)\) 역시 3차식이므로 \(g(x,y,z)\) 는 상수(\(k\)) 가 되어야 합니다. (상수도 대칭식입니다.) 따라서 $$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=(x-y)(y-z)(z-x)\times k$$가 됩니다.

STEP4: \(x^2y\)의 계수비교

좌변에서 \(x^2y\)의 계수는 1이고, 우변에서 \(x^2y\)의 계수는 \(-k\) 이므로 이 두 값을 비교하면 $$k=-1$$이 되어야 합니다. 따라서 $$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)$$

문제2

\(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)를 인수분해 하시오.

풀이2

[문제2]가 [문제1]은 거의 비슷한 구조의 식을 인수분해하지만 차수가 다릅니다. [문제1]은 3차식의 인수분해 문제이고, [문제2]는 4차식의 인수분해 입니다. 차수의 차이에 따라 풀이가 어떻게 달라지는지 주목해 주세요.

STEP1:교대식 확인

$$f(x,y,z)=x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$$로 정의하면,
$$\begin{align}f(y,x,z)&=y^3(x-z)+x^3(z-y)+z^3(y-x)\\
&=-y^3(z-x)-x^3(y-z)-z^3(x-y)\\
&=-\{x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\}\\&=-f(x,y,z)\end{align}$$ 이므로 식 \(f(x,y,z)\) 는 교대식입니다.

STEP2, STEP3, STEP4

교대식의 성질에 의해, $$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$ 로 둘 수 있습니다. 즉 $$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 쓸 수 있습니다. 이식의 좌변은 \(x\), \(y\), \(z\) 에 대한 4차식이고, \((x-y)(y-z)(z-x)\)는 3차식이므로 \(g(x,y,z)\) 는 일차대칭식 \(k(x+y+z)\), (\(k\) 는 상수)가 되어야 합니다. 따라서 $$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=(x-y)(y-z)(z-x)\times k(x+y+z)$$가 됩니다.

STEP4: \(x^3y\)의 계수비교

좌변에서 \(x^3y\)의 계수는 1이고, 우변에서 \(x^3y\)의 계수는 \(-k\) 이므로 이 두 값을 비교하면 $$k=-1$$이 되어야 합니다. 따라서 $$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$$