소확테 2개의 환상의 콜레보 – 2018학년도 수능 나형 30번

가끔은 아주 어려워 보이는 문제가 단순한 테크닉의 조합만으로 쉽게 풀리는 경우가 있습니다. 2018학년도 수능 나형 30번이 그러한 경우입니다. 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것은 [소소하지만 확실한 테크닉] 2개와 (조금 길긴 하지만) 단순한 계산 뿐입니다.

2018학년도 수능 나형 30번

이차함수 \(f(x)=\dfrac{3x-x^2}{2}\) 에 대하여 구간 \([0,\infty)\) 에서 정의된 함수 \(g(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(0\leq x\lt 1\) 일 때, \(g(x)=f(x)\) 이다.
(나) \(n\leq x \lt n+1\) 일 때, $$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)

어떤 자연수 \(k(k\geq 6)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)는 $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$이다. 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n=\displaystyle\int_0^nh(x)dx\) 라 할 때, $$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\frac{241}{768}$$이다. \(k\)의 값을 구하시오.

필요한 소확테

이 문제는 소소하지만 확실한 테크닉 2개를 사용합니다.

● 테크닉1 : 정적분의 수열화(→정적분의 수열화)
● 테크닉2 : 정적분의 위끝과 아래끝 변환(→정적분의 위끝과 아래끝 변환)

문제 풀이의 얼개

이 문제를 풀기 위해서는 대략 4가지 단계를 거쳐야 합니다. 각 단계마다 필요한 계산이 아주 복잡한 것은 아니지만, 그 과정이 다른 문제에 비해 꽤 길기 때문에 먼저 문제 풀이를 위한 밑그림을 그리고 풀이를 시작하도록 하겠습니다.

STEP1: 정적분으로 정의된 \(a_n\) 을 수열의 합으로 바꾸어 표현하기

소소하지만 확실한 테크닉 정적분의 수열화 를 사용해 \(a_n\)을 수열의 합으로 표현하는 단계입니다.

STEP2: \(\int_{m-1}^{m}h(x)dx\) 구하기

소소하지만 확실한 테크닉 정적분의 위끝과 아래끝 변환을 사용해 \(\int_{m-1}^{m}h(x)dx\)를 계산하는 단계입니다.

STEP3: \(a_n\)구하기

[STEP2]의 결과를 이용해 \(a_n\)을 구하는 단계입니다.

STEP4: \(\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)\) 구하기

[STEP3]에서 구한 결과를 이용해 극한값을 계산하고, \(k\)의 값을 구하는 단계입니다.

이 순서를 따라가며 구체적으로 문제를 풀어보겠습니다.

STEP1: \(a_n\) 을 수열의 합으로 바꾸어 표현하기

소소하지만 확실한 테크닉 정적분의 수열화를 사용하면, $$a_n=\int_0^{n}h(x)dx=\sum_{m=1}^{n}\int_{m-1}^mh(x)dx$$ 과 같이, \(a_n\)을 수열의 합으로 표현할 수 있습니다. 이제 다음 순서는 $$\int_{m-1}^mh(x)dx$$를 \(m\)에 대한 식으로 표현하는 것입니다.

STEP2:\(\int_{m-1}^{m}h(x)dx\) 구하기

주어진 조건에 의하면, $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$ 입니다. 따라서 적분구간의 아래끝 \(m-1\)이 \(0\)이상이고, 정적분의 위끝 \(m\)이 \(5\)이하일 때, 즉, $$0\leq m-1<m\leq 5 \Leftrightarrow 1\leq m \leq 5$$일 때에는 적분구간이 \(0\leq x <5\)에 포함되므로 정적분을 할 때 \(h(x)=g(x)\)로 두어야 합니다. 마찬가지로 정적분의 아래끝 \(m-1\)이 \(k\) 이상일 때, 즉, $$k\leq m-1 \Leftrightarrow k+1\leq m$$일 때에는 적분구간이 \(x\geq k\)에 포함되므로 이 때에도 정적분을 할 때 \(h(x)=g(x)\)로 두어야 합니다.

그 이외의 경우 정적분의 아래끝 \(m-1\)이 \(5\)이상이고, 정적분의 위끝 \(m\)이 \(k\)이하 일 때, 즉 $$5\leq m-1<m\leq k\Leftrightarrow 6\leq m\leq k$$ 일 때에는 \(h(x)=2x-g(x)\)로 두고 정적분을 해주어야 합니다. 이 결과를 정리하면 $$\int_{m-1}^{m}h(x)dx=
\begin{cases}
\int_{m-1}^{m}g(x)dx &\text{($1\leq m\leq 5$ 또는 $m\geq k+1$)}\\
\int_{m-1}^{m}(2x-g(x))dx &\text{($6\leq m \leq k$)}\\
\end{cases}$$ 입니다. 따라서 이 문제를 풀기 위해서는 $$\int_{m-1}^mg(x)dx,\  \int_{m-1}^m(2x-g(x))dx$$를 모두 구해야 합니다.

\(\int_{m-1}^mg(x)dx\)

주어진 조건에 의하면 \(n\)은 자연수이고, \(n\leq x\leq n+1\) 일 때$$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$ 이므로 \(\displaystyle\int_n^{n+1}g(x)dx\) 은 다음과 같이 두 개의 정적분으로 나누어 계산할 수 있습니다. $$\begin{align}
&\int_n^{n+1}g(x)dx\\
&=\int_n^{n+1}\left(\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x\right)dx\\
&=\frac{1}{2^n}\int_n^{n+1}\left(f(x-n)-(x-n)\right)dx+\int_n^{n+1}xdx
\end{align}$$ 이 중 왼쪽에 있는 정적분 $$\frac{1}{2^n}\int_n^{n+1}(f(x-n)-(x-n))dx$$이 바로 소소하지만 확실한 테크닉 정적분의 위끝과 아래끝 변환을 사용하면 간단히 계산할 수 있는 정적분입니다. 정적분의 위끝과 아래끝에서 \(n\)을 빼고, $$\begin{align}\text{아래끝}&:n\to n-n=0\\\text{위끝}&:n+1\to n+1-n=1\end{align}$$대신 적분해야 하는 함수에 들어있는 \(x\) 대신 \(x+n\)을 대입합니다. $$\begin{align}f(x-n)&\to f(x+n-n)=f(x)\\x-n&\to x+n-n=x\end{align}$$ 이렇게 변환을 하면 정적분이 매우 간단한 형태로 바뀌게 됩니다.$$\begin{align}
&\frac{1}{2^n}\int_n^{n+1}\left(f(x-n)-(x-n)\right)dx\\
&=\frac{1}{2^n}\int_0^1\left(f(x)-x\right)dx\\
&=\frac{1}{2^n}\int_0^1\left(\frac{3x-x^2}{2}-x\right)dx\\
&=\frac{1}{2^n}\int_0^1\frac{x-x^2}{2}dx\\
&=\frac{1}{2^n}\left[\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{6}x^3\right]_0^1\\
&=\frac{1}{2^n}\left\{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)-\left(0-0\right)\right\}\\
&=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^n}\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$ 오른쪽 정적분은 특별한 테크닉이 필요없는 단순한 정적분입니다. $$\begin{align}
&\int_n^{n+1}xdx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_n^{n+1}\\
&=\frac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\frac{1}{2}n^2\\
&=n+\frac{1}{2}\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$ 이제 \(\eqref{eq1}\) 과 \(\eqref{eq2}\) 를 더하면 $$\int_n^{n+1}g(x)dx=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^n}+n+\frac{1}{2}$$를 얻을 수 있고, \(n\to m-1\)를 대입하면 $$\begin{align}\int_{m-1}^mg(x)dx&=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+(m-1)+\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\tag{3}\label{eq3}\end{align}$$를 얻을 수 있습니다.

\(\int_{m-1}^m(2x-g(x))dx\)

\(\eqref{eq3}\)을 이용하면, \(\displaystyle\int_{m-1}^{m}(2x-g(x))dx\) 은 쉽게 구할 수 있습니다. $$\begin{align}
&\int_{m-1}^{m}2x-g(x)dx\\
&=\int_{m-1}^{m}2xdx-\int_{m-1}^{m}g(x)dx\\
&=\left[x^2\right]_{m-1}^{m}-\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\right)\\
&=(m)^2-(m-1)^2-\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\right)\\
&=2m-1-\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\right)\\
&=m-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}
\end{align}$$ 여기까지 구했다면, 수열의 합으로 표현된 \(a_n\)을 구할 수 있습니다.

STEP3: \(a_n\)구하기

주어진 조건에서 \(k\) 는 6보다 큰 어떤 자연수이지만, \(n\to\infty\) 이므로 \(n\geq k+1\) 이라고 생각할 수 있습니다. 따라서, $$a_n=\int_0^nh(x)dx=\sum_{m=1}^n\int_{m-1}^{m}h(x)dx$$를 \(m\)의 값에 따라 다음과 같이 3개의 합으로 나누어 줍니다.
$$\begin{align}
&\sum_{m=1}^5\int_{m-1}^mh(x)dx+\sum_{m=6}^{k}\int_{m-1}^mh(x)dx+\sum_{m=k+1}^{n}\int_{m-1}^mh(x)dx\\
&=\sum_{m=1}^5\int_{m-1}^mg(x)dx+\sum_{m=6}^{k}\int_{m-1}^m2x-g(x)dx+\sum_{m=k+1}^{n}\int_{m-1}^mg(x)dx\\
\end{align}$$ 이 3개의 합을 각각 구하고, 그 결과를 모두 더하면 \(a_n\)을 구할 수 있습니다.

\(\displaystyle\sum_{m=1}^5\int_{m-1}^mg(x)dx\)

먼저 가장 왼쪽에 있는 합 $$\begin{align}
&\sum_{m=1}^5\int_{m-1}^mh(x)dx\\
&=\sum_{m=1}^5\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{12}\sum_{m=1}^5\frac{1}{2^{m-1}}+\sum_{m=1}^5\left(m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{12}\frac{1\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^5\right)}{1-\frac{1}{2}}+\sum_{m=1}^5\left(m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{32}\right)+\sum_{m=1}^5\left(m-\frac{1}{2}\right)\tag{4}\label{eq4}
\end{align}$$입니다.

\(\displaystyle\sum_{m=6}^{k}\int_{m-1}^m2x-g(x)dx\)

그리고 가운데에 있는 합 $$\begin{align}
&\sum_{m=6}^{k}\int_{m-1}^mh(x)dx\\
&=\sum_{m=6}^{k}\left(m-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}\right)\\
&=\sum_{m=6}^{k}\left(m-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{12}\sum_{m=6}^{k}\frac{1}{2^{m-1}}\\
&=\sum_{m=6}^{k}\left(m-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{12}\left(\frac{\frac{1}{2^5}\left(1-(\frac{1}{2})^{k-5}\right)}{1-\frac{1}{2}}\right)\\
&=\sum_{m=6}^{k}\left(m-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{32}-\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)\tag{5}\label{eq5}
\end{align}$$ 입니다.

\(\displaystyle\sum_{m=k+1}^{n}\int_{m-1}^mg(x)dx\)

마지막으로, 가장 오른쪽에 있는 합 $$\begin{align}
&\sum_{m=k+1}^{n}\int_{m-1}^mh(x)dx\\
&=\sum_{m=k+1}^{n}\left(\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{12}\sum_{m=k+1}^n\frac{1}{2^{m-1}}+\sum_{m=1}^5\left(m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{12}\frac{\frac{1}{2^k}\cdot\left(1-(\frac{1}{2})^{n-k}\right)}{1-\frac{1}{2}}+\sum_{m=k+1}^n\left(m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2^k}-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)+\sum_{m=k+1}^n\left(m-\frac{1}{2}\right)\tag{6}\label{eq6}
\end{align}$$ 입니다. 이 3개의 합의 결과인 \(\eqref{eq4}\), \(\eqref{eq5}\), \(\eqref{eq6}\)를 모두 더하면 $$\begin{align}
&\eqref{eq4}+\eqref{eq5}+\eqref{eq6}\\
&=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{32}-\frac{1}{32}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}-\frac{1}{2^n}\right)+\sum_{m=1}^{n}\left(m-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{15}{16}+\frac{2}{2^k}-\frac{1}{2^n}\right)+\left(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{2}\right)\\
&=\frac{1}{6}\left(\frac{15}{16}+\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^n}\right)+\frac{n^2}{2}\\
\end{align}$$ 를 얻을 수 있습니다. 끝까지 거의 다 왔습니다. 이제 다음 단계로 넘어가 문제에서 요구하는 답을 구해보겠습니다.

STEP4: \(\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)\) 구하기

이제 남은 것은 극한 $$\lim\limits_{n\to\infty}2a_n-n^2$$을 계산하는 것 뿐입니다.
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$ 이므로 $$\begin{align}
&\lim\limits_{n\to\infty}\left(2a_n-n^2\right)=\frac{241}{768}\\
&\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{15}{16}+\frac{1}{2^{k-1}}-\frac{1}{2^n}\right)+n^2-n^2\right\}\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{15}{16}+\frac{1}{2^{k-1}}\right)=\frac{241}{768}
\end{align}$$입니다. 이 결과를 정리하여 \(k\)를 구하면, $$\begin{align}\frac{1}{2^{k-1}}&=3\cdot\frac{241}{768}-\frac{15}{16}\\&=\frac{241}{256}-\frac{240}{256}\\&=\frac{1}{256}=\frac{1}{2^8}\end{align}$$$$\therefore k=9$$

4 Comments
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3 years ago

step2 처음에 부등식 범위가 왜저렇게 바뀌는건가용..? ” 위끝인 m
이 5이하이거나 아래끝인 m−1이 k 이상인 경우에는.. ” 부분이 잘 이해가안돼요

수학잘하고싶어요………….
3 months ago

안녕하세요! 좋은 자료 감사합니다. 다름이 아니라, 풀이의 시작 지점에서 정적분으로 정의된 an을 테크닉을 사용하여 수열의 합으로 표현하셨는데, 어떻게 그런 발상을 하셨는지(그렇게 표현한 것이 문제풀이에 도움이 되는 이유가 있었는지)가 궁금합니다. 저는 문제를 읽고 구하는 값이 k이고, 주어진 값이 an의 극한과 관련된 값 241/768이라는 것을 인지하고 an을 식이 명확히 주어진 함수인 f(x)에 대한 식으로 나타내야겠다는 생각을 해 그러기 위해 h(x)를 g(x), g(x)를 f(x)에 대한 식으로 나타내어 최종적으로는 an=f(x)에 대한 식 형태로 나타내야겠다는 생각까지밖에 못해서 문제를 못 풀었거든요ㅠ