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이항계수의 흡수 항등식 (absorption identity)는 약방의 감초처럼 이항계수를 사용하는 수식에서 자주 쓰이는 항등식입니다. 이 항등식을 직접 설명하고 있는 교과서는 없지만, 사실 이 항등식은 평가원 기출문제에서 종종 사용될 정도로 중요한 항등식입니다.

자연수 \(r(1\leq r \leq k)\)에 대하여$$_kC_r=\frac{k}{r}\times _{k-1}C_{r-1}$$

이 글에서는 이 항등식을 증명하고, 이 항등식을 활용하는 방법과 과거 평가원 기출문제에서 이 항등식이 어떻게 다루었는지에 대해 이야기 해보겠습니다.

흡수 항등식의 증명과 변형

증명

흡수 항등식의 변형

\(\eqref{eq1}\)의 양변에 \(r\)을 곱하면 $$r\cdot _nC_r=n\cdot _{n-1}C_{r-1}\tag{2}\label{eq2}$$

흡수 항등식의 의미와 활용 방법

그렇다면 이 항등식의 역할은 무엇일까요? 이 항등식의 이름에서 알 수 있듯이, 이 항등식을 사용하면 이항계수 앞에 붙어 있는 변수를 이항계수 안쪽으로 흡수시켜 버릴 수 있습니다. 식\(\eqref{eq1}\)의 우변과 좌변의 위치를 바꾸어 써보면, $$\underbrace{\frac{n}{r}\times _{n-1}C_{r-1}\Rightarrow _nC_r}_{\text{$n$과 $r$이 흡수되었음}}$$ 흡수 항등식을 통해 \(n\)과 \(r\) 모두가 이항계수 안으로 흡수된 결과를 알 수 있습니다. 마찬가지로 식\(\eqref{eq2}\)를 사용하면 \(n\)과 \(r\)중 하나를 이항계수 안으로 흡수할 수 있습니다. $$\begin{align}&r\times _nC_r=\underbrace{n\times _{n-1}C_{r-1}}_{r\text{이 흡수되었음}}\\&n\times _{n-1}C_{r-1}=\underbrace{r\times _{n}C_{r}}_{n\text{이 흡수되었음}}\end{align}$$

흡수 항등식을 사용하는 가장 큰 목적은 불필요한 변수를 없애 버리기 위해서입니다. 예를 들어, 이항계수를 이용해 식을 정리하다 보면 이항계수 앞에 붙어 있는 변수의 처리가 곤란할 때가 있습니다. 특히 수열의 합을 구할 때, 다음과 같이 합의 인덱스를 나타내는 문자가 이항계수 앞에 붙어 있을 때에는 합을 구하는 것이 꽤 어려운 일이 되버립니다. $$\sum_{k=1}^n(k\times _nC_k)$$ 이럴 때 흡수 항등식을 사용해주면 이항계수 앞에 붙어 있는 변수가 이항계수 안쪽으로 흡수되어 합의 계산이 쉬워집니다. 식\(\eqref{eq2}\)를 사용하면 $$k\times _nC_k=n\times _{n-1}C_{k-1}$$이므로 $$\begin{align}\sum_{k=1}^n(k\times _nC_k)&\Rightarrow\sum_{k=1}^n(n\times _{n-1}C_{k-1})\\&=n\sum_{k=1}^n{_{n-1}C_{k-1}}\end{align}$$ \(k\)가 흡수되어 합을 쉽게 계산할 수 있게 됩니다. 실제로도 몇몇 평가원 기출 문제를 보면 수열의 합을 구하는 과정에서 흡수 항등식을 사용하였다는 것을 알 수 있습니다. 다음은 흡수 항등식을 사용한 평가원 기출 문제입니다.

흡수 항등식을 사용한 평가원 기출문제

주로 빈칸을 완성하는 문제에서 흡수 항등식이 사용되었습니다.

2017학년도 9월 평가원 가형 17번, 나형 18번

1부터 \(n\)까지의 자연수가 하나씩 적혀있는 n장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 서로 다른 4장의 카드를 선택할때, 선택한 카드 4장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률 변수 \(X\)라 하자. 다음은 \(\mathrm{E}(X)\)를 구하는 과정이다. (단, \(n\geq4)\)

이 문제에서 흡수 항등식을 사용하는 이유

이 문제는 수열의 합을 구하기 위해 흡수 항등식을 사용해야 하는 전형적인 문제입니다. 제시문에서 빨간색 네모로 표시되어 있는 부분이 바로 흡수 항등식입니다. 그렇다면 이 문제에서 흡수 항등식을 사용해야하는 부분은 어디일까요? 1부터 \(k-1\) 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3장의 카드와 \(k\)가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수는 \(_{k-1}C_3\) 이므로 $$\mathrm{P}(X=k)=\frac{_{k-1}C_3}{_nC_4}$$입니다. 그러므로 문제 제시문의 중간 부분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}\mathrm{E}(X)&=\sum_{k=4}^n\{k\times\mathrm{P}(X=k)\}\\&=\frac{1}{_nC_4}\sum_{k=4}^{n}(k\times{_{k-1}C_3})\end{align}$$ 바로 이 부분이 흡수 항등식을 사용해야 하는 부분입니다. \(k\times _{k-1}C_{3}\) 를 보면 합의 인덱스 \(k\)가 이항계수 \(_{k-1}C3\) 앞에 붙어 있기 때문에 이 상태로는 합을 구하는 것이 어렵습니다. 만약 이 부분에서 흡수 항등식을 사용해주면 합의 인덱스 \(k\)가 이항계수 \(_{k-1}C_3\) 안으로 흡수되어 이항계수의 앞에 붙어 있던 \(k\)가 식에서 사라집니다. 제시문에 주어진 식 또는 \(\eqref{eq2}\)를 이용하면, $$k\times _{k-1}C_3 \to \underbrace{4\times_{k}C_4}_{k\text{가 흡수되었음}}$$입니다. \(k\)가 흡수된 대신 상수 4가 새로 나오긴 했지만 이전보다는 수열의 합을 훨씬 쉽게 구할 수 있는 식이 되었습니다. 따라서 $$\begin{align}\mathrm{E}(X)&=\sum_{k=4}^n\{k\times\mathrm{P}(X=k)\}\\=&\frac{1}{_nC_4}\sum_{k=4}^{n}(k\times{_{k-1}C_3})\\&=\frac{1}{_nC_4}\sum_{k=4}^{n}(4\times{_{k}C_4})\end{align}$$ 가 됩니다.

2010학년도 6월 평가원 가형 15번, 나형 15번

다음은 \(n\)이 2 이상의 자연수 일때, $$\sum_{k=1}^nk(_nC_k)^2$$ 의 값을 구하는 과정이다.

이 문제에서 흡수 항등식을 사용하는 방법

이 문제 역시 수열의 합을 구하기 위해 흡수 항등식을 사용해야 하는 전형적인 문제입니다. 제시문 중간 빨간색 네모로 표시된 부분이 흡수 항등식을 설명하고 있는 부분입니다. 그렇다면 이 문제에서는 흡수 항등식을 어떻게 사용해야 할까요? 제시문에서 흡수 항등식을 설명하고 난 다음, 수열의 합을 구하는 부분을 살펴보겠습니다. $$\sum_{k=1}^nk(_nC_k)^2=\sum_{k=1}^n(n\times_{n-1}C_{k-1}\times\text{(나)})$$ 이 부분이 바로 흡수 항등식을 사용해야 하는 부분입니다. $$k(_nC_k)^2=k\times _nC_k \times _nC_k$$입니다. 이 식을 보면 일반항을 나타내는 인덱스 \(k\)가 이항계수 앞에 붙어있기 때문에 이대로는 합을 구하는 것이 어렵습니다. 따라서 흡수 항등식을 사용하여 인덱스 \(k\)를 이항계수 안으로 흡수시켜 버리면 합을 구하는 것이 쉬워집니다. 제시문에서 설명한 흡수 항등식 또는 식\(\eqref{eq1}\)를 이용하면 $$\begin{align}&_nC_k=\frac{n}{k}\times _{n-1}C_{k-1}\\&\Rightarrow k\times _nC_k=\underbrace{n\times_{n-1}C_{k-1}}_{k\text{가 흡수되었음}}\end{align}$$이 되어 흡수 항등식을 사용하기 이전보다 훨씬  쉽게 합을 구할 수 있습니다. $$\begin{align}&\sum_{k=1}^nk(_nC_k)^2=\sum_{k=1}^n(k\times_{n}C_{k}\times_{n}C_{k})\\&=\sum_{k=1}^n(n\times _{n-1}C_{k-1}\times _{n}C_k)\\&=n\sum_{k=1}^n(_{n-1}C_{k-1}\times _{n}C_k)\end{align}$$가 됩니다.

또 다른 활용

이 흡수 법칙은 이항 분포 \(\mathrm{B}(n,p)\)를 따르는 확률변수 \(X\)의 평균인 \(\mathrm{E}(X)\)과 분산 \(\mathrm{V}(X)\)를 구하는 데에도 사용됩니다.(→이항분포의 평균과 분산)