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2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번의 자세한 풀이입니다. 이 문제와 풀이를 통해 “주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다”는 문제 풀이 전략에 대해 이야기 해보겠습니다. 

수학 문제를 통해 배울 수 있는 다양한 문제 풀이 전략들이 있습니다. 또한 이러한 문제 풀이 전략들을 적절히 사용하면 문제 풀이의 돌파구를 찾을 수 있습니다.  2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번은

주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다

라는 문제 풀이 전략을 사용하는 문제입니다. 먼저 문제를 살펴 보겠습니다.

문제

문제의 풀이

먼저 세 점이 동일한 평면 $z=1$ 위에 있다고 하였으므로 세 점의 좌표를 설정하는 것으로 문제 풀이를 시작해 보겠습니다. 점 $P_1$의 좌표를 $(x_1,y_1,1)$, 점 $P_2$의 좌표를 $(x_2,y_2,1)$, 점 $P_3$의 좌표를 $(x_3,y_3,1)$ 라고 하면, 이 세 점의 좌표를 이용해 벡터의 내적을 계산할 수 있습니다.

문제에서 주어진 벡터의 내적을 좌표를 이용해 내적을 계산하면,

$$\begin{align} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_1,y_1,1)&=3x_1+\frac{1}{2}y_1+2&=\frac{11}{3}\tag{1} \\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_2}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_2,y_2,1)&=3x_2+\frac{1}{2}y_2+2&=1\tag{2} \\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}&=(3,\frac{1}{2},2)\cdot(x_3,y_3,1)&=3x_3+\frac{1}{2}y_3+2&=-\frac{7}{4}\tag{3} \end{align}$$

과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 나중에도 언급하겠지만 이 결과는 문제의 답을 구하는데 사용해야 하는 아주 중요한 조건입니다.

한편, 문제에서 제시한 직선의 방향벡터 $(-1,6,0)$ 을 잘 관찰해 보면 방향 벡터의 $z$ 성분이 0이라는 것을 알 수 있습니다. 즉 이 직선위에 놓인 모든 점들의 $z$ 좌표는 같기 때문에 이 직선은  $xy$ 평면에 포함 되거나 $xy$ 평면에 평행합니다.

또한 이 직선이 지나는 점 $(0,k,0)$ 의 좌표를 보면 이 직선의 방향 벡터와 마찬가지로 이 점의 $z$ 좌표가 0입니다.  이 점은 $xy$ 평면 위의 점이므로  $xy$ 평면은 이 직선을 포함하게 됩니다. 따라서 여기서부터는 이 문제를 공간이 아닌 $xy$  평면에서 생각할 수 있습니다.

이제 남은 일은  $xy$ 평면에서 이 직선의 기울기와 $y$ 절편을 이용해 이 직선의 방정식을 $y=ax+b$ 모양으로 써보는 것입니다. 이렇게 하면 길이나 각도를 측정할 때 여러 가지 도구를 쉽게 사용할 수 있기 때문입니다.

먼저 직선의 기울기를 구해보겠습니다. 이것은 직선의 방향벡터를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 방향벡터가 $(-1,6)$ 인 직선의 기울기는 $$\frac{6}{-1}=-6$$ 이 됩니다. $y$ 절편 역시 이 직선은 지나는 점 $(0,k,0$) 의 $x$ 좌표가 0이므로 이 직선의 $y$ 절편은 $k$ 가 됩니다. 따라서 이 직선의 방정식은  $$y=-6x+k$$ 로 나타낼 수 있습니다.

다음으로 해야 할 일은 세 점 $P_1, P_2, P_3$ 에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발의 위치를 구하는 것입니다. 문제 풀이 처음에서 세 점의 좌표를 정했기 때문에 각 점의 좌표에서 $z$ 성분을 0으로 바꾸어 주는 것만으로 수선의 발의 위치를 쉽게 구할 수 있습니다. 따라서 점 $P_1,P_2,P_3$에서 $xy$ 평면에 내린 수선의 발의 좌표는 각각 $$(x_1,y_1,0),(x_2,y_2,0), (x_3,y_3,0)$$ 이 됩니다.

이제 이 세 점의 수선의 발과 직선 $y=-6x+k$ 를 $xy$ 평면에서 생각해 보겠습니다. 세 점의 수선의 발이 모두 직선 $l$에 의해 나누어 지는 영역 $\alpha$ 에만 포함되거나 $\beta$ 에만 포함이 된다는 것은 결국 수선의 발 $$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$$ 모두가 직선 $$y=-6x+k$$ 아랫쪽에 있거나 위쪽에 있다는 뜻이 됩니다. 과연 이 점들이 어떻게 배치 되어야 세 점 모두가 직선 $y=-6x+k$  위쪽이나 아래쪽에 놓이게 될까요? 내적의 결과 (1),(2),(3)를 보면 이 세 점의 배치에 대한 아주 커다란 힌트를 찾을 수 있습니다.

내적의 결과 (1),(2),(3)을 자세히 살펴보겠습니다.  먼저 이 식을 정리해 보면 아주 흥미로운 결과를 얻을 수 있습니다. $$\begin{align} y_1&=-6x_1+\frac{10}{3}\tag{4}\\ y_2&=-6x_2-2\tag{5}\\ y_3&=-6x_3-\frac{15}{2}\tag{6} \end{align}$$ 를 얻을 수 있습니다. 어떻습니까? 문제에서 주어진 직선 $$y=-6x+k$$ 와 정확히 그 모양이 일치하지 않습니까? 이 것은 과연 무엇을 의미하는 것일까요?

식(4)를 예로 들어 생각해 보겠습니다. 식(4)번 $$y_1=-6x_1+\frac{10}{3}$$ 은 점$(x_1,y_1)$를 직선 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$ 에 대입한 형태가 됩니다. 따라서 이 점 $(x_1, y_1)$은 직선 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$ 위의 한 점이라고 생각할 수 있습니다. 즉 아무리 $x_1$ 의 값을 바꾸어도 점 $(x_1, y_1)$ 은 이 직선을 벗어날 수 없습니다. 마찬가지로 생각하면 나머지 두 점도 각각 $$\begin{align} y&=-6x-2\\ y&=-6x-\frac{15}{2} \end{align}$$ 위의 한 점이 되고, 이 두 점의 위치를 아무리 바꾸어도 각각의 직선을 벗어날 수는 없습니다.

따라서 세 점 모두가 직선 $y=-6x+k$ 아래쪽에 있기 위해서는 이 직선의 $y$ 절편 $k$ 가 점 $P_1,P_2,P_3$ 의 위치를 나타내는 세 직선의 $y$ 절편 $$\frac{10}{3}, -2, -\frac{15}{2}$$ 보다 커야 합니다.

즉 세 점 모두가 직선 아래쪽에 있으려면 $k$ 의 값이 $$\left\{ \begin{aligned} \frac{10}{3}&<k \\ -2&<k \\ -\frac{15}{2}&<k\end{aligned}\right.$$ 이 세 개의 부등식 모두를 만족해야 합니다. 이 세 부등식을 모두 만족시키는 양의 정수 $k$ 의 값은 $4,5,6,7…$ 이기 때문에 문제에서 요구하는 양의 정수 $k$ 의 최소값 $$m=4$$ 라는 것을 알 수 있습니다.

마찬가지로 세 점 모두가 직선 $y=-6x+k$ 위쪽에 있기 위해서는 이 직선의 $y$ 절편 $k$ 가 점 $P_1,P_2,P_3$ 의 위치를 나타내는 세 직선의 $y$ 절편 $$\frac{10}{3}, -2, -\frac{15}{2}$$ 보다 작아야 합니다.

즉 세 점 모두가 직선 위쪽에 있으려면 $k$ 의 값이 $$\left\{ \begin{aligned} k &< \frac{10}{3} \\ k & <-2 \\ k & <-\frac{15}{2}\end{aligned}\right.$$ 이 세 개의 부등식 모두를 만족해야 합니다. 이 세 부등식을 모두 만족시키기 위한 음의 정수는 $k$의 값은 $…-10,-9,-8$ 이기 때문에 문제서 요구하는 음의 정수 $k$ 의 최댓값은 $$M=-8$$ 이 됩니다.

따라서 $$m-M=4-(-8)=12$$

문제풀이의 원리 – 조건을 보고 사용할 식을 결정한다.

이 문제를 통해 배울 수 있는 개념이나 수학적 테크닉은 무엇일까요? 바로

조건을 보고 사용할 식을 결정한다.

는 것입니다. 이 문제에서 $$y_1=-6x_1+\frac{10}{3}$$ 을 보고 $$y=-6x+\frac{10}{3}$$ 을 떠올렸습니다. 마찬가지로 $$\left\{ \begin{aligned} \alpha^2+3\alpha-2=0\\ \beta^2+3\beta-2=0\end{aligned}\right.$$ 를 보면 방정식 $$x^2+3x-2=0$$ 을 생각하고 $\alpha$와 $\beta$ 를 이 방정식의 근이라고 두고 풀이를 진행해야 합니다. 2018학년도 수능 수학 영역 (나형) 21번도 이러한 테크닉을 이용해 문제를 풀 수 있습니다. 관심있는 분은 같이 살펴보시기 바랍니다.

관련문제

• 2018학년도 수능 수학 영역 (나형) 21번