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이 글에서는 산술 기하 평균 부등식과 치환을 사용하여 절대 부등식을 푸는 테크닉을 설명합니다.

산술 기하 평균 부등식과 치환

절대 부등식 문제를 증명하거나 절대 부등식을 사용하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 여러 문제에서 산술 기하 평균 부등식을 적용할 수 있음에도 불구하고, 그 모양이 산술 기하 평균 부등식의 기본적인 모양과 달라 산술 기하 평균 부등식의 적용을 놓치는 경우가 많습니다. 이럴 때 적절한 치환을 사용하면 절대 부등식을 산술 기하 평균 부등식의 관계를 사용할 수 있는 형태로 바꿀 수 있습니다. 문제를 풀어보면서 구체적으로 알아보겠습니다.

[문제1]

다음 부등식을 증명하시오. 단, \(x\ ,y\ ,z\)는 양의 실수이다.

$$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\geq\frac{3}{2}$$

[풀이]

네스빗 (nesbitt) 부등식이라는 이름을 가진 유명한 부등식입니다. 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 이용해 증명할 수도 있습니다만, 치환을 이용하면 산술 기하 평균 부등식을 이용하여 간단히 풀 수 있습니다. 먼저, $$\begin{equation}\begin{aligned}x+y&=2A\\y+z&=2B\\z+x&=2C\end{aligned}\end{equation}$$로 놓고 (x, y, z 가 모두 양의 실수 이므로 A, B, C 역시 모두 양의 실수가 됩니다.) 이 세 식의 좌변과 우변을 모두 더하면, $$2(x+y+z)=2(A+B+C)$$를 얻을 수 있습니다. 따라서 $$\begin{equation}\begin{aligned}z&=B+C-A\\x&=C+A-B\\y&=A+B-C\end{aligned}\end{equation}$$라 할 수 있습니다. 이제 이 결과를 네스빗 부등식의 좌변 $$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}$$에 대입하면, $$\begin{equation}\begin{aligned}&\frac{B+C-A}{2A}+\frac{C+A-B}{2B}+\frac{A+B-C}{2C}\\&=\frac{B}{2A}+\frac{C}{2A}-\frac{1}{2}+\frac{C}{2B}+\frac{A}{2B}-\frac{1}{2}+\frac{A}{2C}+\frac{B}{2C}-\frac{1}{2}\\&=\require{enclose}\underbrace{(\frac{B}{2A}+\frac{A}{2B})}_{\enclose{circle}{1}}+\underbrace{(\frac{C}{2A}+\frac{A}{2C})}_{\enclose{circle}{2}}+\underbrace{(\frac{C}{2B}+\frac{B}{2C})}_{\enclose{circle}{3}}-\frac{3}{2}\end{aligned}\end{equation}$$이 됩니다.

A, B 모두 양의 실수이므로 ①이라고 표시한 부분에 산술 기하 평균 부등식을 사용하면 $$\frac{B}{2A}+\frac{A}{2B}\geq 2\sqrt{\frac{B}{2A}\cdot\frac{A}{2B}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$$(등호는 A=B일 때 성립)을 얻을 수 있습니다. 마찬가지로 ②와 ③에 산술 기하 평균을 적용하면, $$\frac{C}{2A}+\frac{A}{2C}\geq 1$$$$\frac{C}{2B}+\frac{B}{2C}\geq 1$$이 됩니다. (등호는 A=B=C일 때 성립합니다.) 이 세 부등식을 모두 더하면 $$\frac{B}{2A}+\frac{A}{2B}+\frac{C}{2A}+\frac{A}{2C}+\frac{C}{2B}+\frac{B}{2C}\geq 1+1+1 = 3$$이므로, $$(\frac{B}{2A}+\frac{A}{2B})+(\frac{C}{2A}+\frac{A}{2C})+(\frac{C}{2B}+\frac{B}{2C})-\frac{3}{2}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$를 얻을 수 있습니다.

[문제2]

x,y,z가 양의 실수 일 때, 다음 식 $$(x+y+z)(\frac{1}{2x+y}+\frac{1}{y+2z})$$의 최솟값을 구하고 그 때 x, y, z의 관계를 구하시오.

[풀이]

[문제1]과 마찬 가지로, $$\begin{equation}\begin{aligned}2x+y&=A\\y+2z&=B\end{aligned}\end{equation}$$로 치환해 보겠습니다. (x,y,z 가 양의 실 수 이므로 A, B 역시 모두 양의 실수가 됩니다.) 두 식의 좌변과 우변을 각각 더해 어떤 결과를 얻을 수 있는지 살펴보겠습니다. 두 식을 더 하면$$2(x+y+z)=A+B\to x+y+z=\frac{A+B}{2}$$가 되어 문제의 식을 A와 B만으로 나타낼 수 있게 되었습니다. 이 결과를 문제의 식에 대입하면 $$\begin{equation}\begin{aligned}&\frac{A+B}{2}((\frac{1}{A}+\frac{1}{B})\\&=\frac{1}{2}(A+B)(\frac{1}{A}+\frac{1}{B})\\&=\frac{1}{2}(1+\frac{B}{A}+\frac{A}{B}+1)\\&=\frac{1}{2}(\frac{B}{A}+\frac{A}{B}+2)\end{aligned}\end{equation} $$가 됩니다. 그런데, 산술 기하 평균 부등식에 의해 $$\frac{B}{A}+\frac{A}{B} + 2 \geq 2\sqrt{\frac{B}{A}+\frac{A}{B}}+2=2+2=4$$이므로 (등호는 A=B, 즉 x=z일 때 성립) $$\frac{1}{2}(\frac{B}{A}+\frac{A}{B}+2)\geq \frac{1}{2}\cdot 4 =2$$ 가 됩니다. 따라서 최솟값을 2, 구하는 관계식은 등호가 성립할 조건인 \(x=z\) 입니다.

이제 같은 치환을 사용해서 다음 문제를 직접 풀어보시는 것은 어떨까요?

[문제3]

x,y,z가 양의 실수 일 때, 다음 식 $$\frac{9z}{x+y}+\frac{16x}{y+z}+\frac{25y}{z+x}$$의 최솟값을 구하시오.

[풀이]