이 글에서는 테이블 적분법의 원리를 설명합니다. 테이블 적분의 원리는 부분적분의 귀납적 관계를 이용한 것입니다.
\(f(x)\)를 n번 미분한 함수를 $$ f^{(n)}(x) : f^{(0)}(x),\ f^{(1)}(x),\ f^{(2)}(x),\ f^{(3)}(x),…,\ f^{(n)}(x),…$$ \(g(x)\)를 n번 부정적분(적분상수=0)한 함수를 $$g^{(-n)}(x) : g^{(0)}(x),\ g^{(-1)}(x),\ g^{(-2)}(x),\ g^{(-3)}(x),…,\ g^{(-n)}(x),…$$라 하면, $$\begin{align}\int f(x)g(x)dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f^{(1)}(x)g^{(-1)}(x)dx\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-\left(f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)-\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\right)\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)+\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\\
&=…\end{align}$$ 입니다. 혹시 이 등식의 패턴이 보이시나요?
부분적분의 귀납적 관계
위 등식을 관찰하면, $$\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx$$ 모양의 식이 반복적으로 나타난다는 것을 알 수 있습니다. 부분적분법을 사용하면 $$\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx=f^{(n)}(x)g^{-(n+1)}(x)-\int f^{(n+1)}g^{-(n+1)}(x)dx\tag{1}$$입니다. $$\begin{align}\{a_n\} : a_n&=\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx\\
\{b_n\} : b_n&=f^{(n)}(x)g^{-(n+1)}(x)\end{align}$$ 로 두면, 식(1)은 $$a_n=b_n-a_{n+1}$$ 로 쓸 수 있습니다. 따라서 $$\begin{align}\int f(x)g(x) dx&=a_0=b_0-a_1\\
&=b_0-(b_1-a_2)\\
&=b_0-b_1+a_2=b_0-b_1+(b_2-a_3)\\
&=b_0-b_1+b_2-a_3=b_0-b_1+b_2-(b_3-a_4)\\
&=b_0-b_1+b_2-b_3+a_4\\
&=…\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}b_k+(-1)^{n}a_{n}\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}f^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx\\
\end{align}$$ 가 됩니다.
먼저 \((-1)^kf^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)\)는 $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline\\
…&&…\\
f^{(k)}(x)&&g^{(-k)}(x)\\
&\searrow{(-1)^k}\\
f^{(k+1)}(x)&&g^{-(k+1)}(x)\\
…&&…\\
\end{array}$$에 해당합니다.
그리고,$$\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx$$는 $$\begin{array}{ccc}
D&&I\\
\hline\\
…&&…\\
f^{(n)}(x)&\rightarrow{(-1)^{n}}&g^{(-n)}(x)\\
\end{array}$$ 에 해당합니다.
다항함수×지수함수 또는 다항함수×삼각함수의 테이블 적분법
※다항함수×지수함수의 테이블 적분법→다항함수×지수함수 또는 다항함수×삼각함수의 테이블 적분법
다항함수를 계속 미분하면 언젠가는 0이 됩니다. 즉, \(f^{(n)}(x)=0\) 으로 두면, $$a_n=f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)=0$$이므로 $$\int f(x)g(x) dx=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}f^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)$$입니다. 따라서 테이블 적분법을 사용할 때에는 오른쪽 아래 방향의 화살표만 사용하면 됩니다. $$\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
&\searrow{+}\\
f^{(1)}(x)&&g^{(-1)}(x)\\
&\searrow{-}\\
f^{(2)}(x)&&g^{(-2)}(x)\\
…&&…\\
f^{(n-1)}(x)&&g^{-(n-1)}(x)\\
&\searrow{(-1)^{n-1}}\\
0&&g^{(-(n)}(x)\end{array}$$
삼각함수×지수함수의 테이블 적분법
※삼각함수×지수함수의 테이블 적분법→삼각함수×지수함수의 테이블 적분법
삼각함수와 지수함수는 계속해서 미분해도 0이 되지 않습니다. 따라서 표 마지막 줄의 오른쪽 화살표도 같이 사용하고, 상수 \(t\)에 대하여 $$f(x)g(x)=t\cdot f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)$$가 될 때까지 표를 채워 나갑니다.$$\begin{array}{ccc}
D && I\\
\hline
f(x)&&g(x)\\
&\searrow{+}\\
f^{(1)}(x)&&g^{(-1)}(x)\\
&\searrow{-}\\
f^{(2)}(x)&&g^{(-2)}(x)\\
…&&…\\
f^{(n-1)}(x)&&g^{-(n-1)}(x)\\
&\searrow{(-1)^{n-1}}\\
f^{(n)}(x)&\rightarrow{(-1)^n}&g^{(-n)}(x)\end{array}$$따라서,$$\begin{align}\int f(x)g(x) dx&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}f^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(n)}(x)g^{(-n)}(x)dx\\
&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}f^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)+(-1)^{n}t\int f(x)g(x)dx\\
\end{align}$$ $$\therefore (1-(-1)^nt)\int f(x)g(x)dx = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}f^{(k)}(x)g^{-(k+1)}(x)$$