부등식을 만족하는 “어떤 값이 존재한다”라는 조건을 가진 문제는 다음과 같이 최솟값이나 최댓값에 관한 조건을 가진 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다. 구체적으로, 다음과 같은 변형이 가능합니다.

\(f(x)\leq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최솟값\(\leq a\) 이다.
\(f(x)\geq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최댓값\(\geq a\) 이다.

이렇게 조건을 변형하는 것은 수학 논리에서 매우 중요한 개념 중 하나이기 때문에 이 개념을 이용해서 만들어진 고난도의 문제들이 종종 출제됩니다. 이 글에서는 이러한 변형의 배경과 원리를 알아보고 이를 이용해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)