불변성이란 일반적으로,
조작이나, 반복이 계속될 때에도 바뀌지 않는 특수한 상황
을 뜻합니다. 불변성이라는 단어는 조금 생소하게 들릴수도 있지만 사실은 일상 생활에서도 자주 쓰이는 수학적 개념입니다. 등차 수열에서 인접한 두 항의 차이가 항상 일정(공차)하거나 수열의 귀납적 관계(점화식)관계 등이 바로 불변성을 사용하는 좋은 예입니다. 이 글에서는 2009학년도 3월 모의고사 가형 21번을 통해 불변성에 대해 이야기 해보겠습니다.
불변성을 이용해 만들어진 문제들은 일단 문제가 갖는 고유의 성질인 불변성을 찾아내기만 문제를 쉽게 풀 수 있을 때가 많습니다. 하지만 안타깝게도 불변성을 찾을 수 있는 특별한 방법이 있는 것은 아닙니다. 불변성을 찾는 것은 경험에 많이 의존하기 때문에 문제를 많이 접해보고 불변성을 찾기 위한 방법을 생각해 보아야 합니다. 예를 들어 두 비커에 들어 있는 소금물의 양으로 서로 교환하는 문제에서 조작의 횟수와 관계 없이 각 비커에 들어있는 물과 소금의 양의 합은 항상 일정하거나 어떤 두 변수의 값의 차가 항상 일정하다는 것은 여러 번의 실험을 통해 문제가 가지는 불변성을 찾아내야 합니다.
2009학년도 3월 모의고사 가형 21번
이 문제에서 가장 먼저 주목해야 할 점은 각각의 변에 들어 있는 세 수의 합이 얼마가 되어야 하는지를 파악하는 것입니다. 문제에서 주어진 예에서 세 변에 포함된 세 수의 합을 써보겠습니다.
$$\begin{align}\text{변1}&:1+6+2=9\\\text{변2}&:2+4+3=9\\\text{변3}&:3+5+1=9\end{align}$$ 혹시 이 세 식의 특징이 보이시나요? 이 세 식을 세로로 읽으면 다음과 같은 패턴을 발견할 수 있습니다.$$\begin{align}\text{변1}&:\color{red}1+6+\color{red}2=9\\\text{변2}&:\color{red}2+4+\color{red}3=9\\\text{변3}&:\color{red}3+5+\color{red}1=9\end{align}$$ 세 식을 잘 관찰하면, 삼각형의 꼭짓점에 놓인 숫자 1, 2, 3은 모두 두 번씩 나오고 나머지 숫자 4, 5, 6은 한 번씩 나온다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 특징을 제일 잘 이용하는 방법은 이 세개의 식을 모두 더하거나 모두 빼보는 것입니다. 이 세개의 식을 모두 더 하면 $$(\color{red}{1+2+3}+4+5+6)+\color{red}{1+2+3}=9+9+9$$이 되고 1부터 6까지의 합은 21이므로, $$21+(\color{red}{1+2+3})=3\times9$$가 됩니다.
이 것을 일반화 하여 생각해봅시다. 다음 그림과 같이 서로 다른 6개의 원에 들어가야 하는 숫자를 a,b,c,d,e,f 라고 하고 삼각형의변1, 변2, 변3에 들어있는 세 수의 합을 각각 \(P,\ Q,\ R\) 이라 하면, 세 개의 식을 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}\text{변1}&:\color{red}a+b+\color{red}d=P\\\text{변2}&:\color{red}d+e+\color{red}f=Q\\\text{변3}&:\color{red}f+c+\color{red}a=R\end{align}$$ 이제 이 세 개의 식을 세로로 더하면, $$\underbrace{(\color{red}a+b+c+\color{red}d+e+\color{red}f)}_{21\text{(=1부터 6까지의 합)}}+\color{red}{a+d+f}=P+Q+R\tag{1}$$
이 식에서 a+b+c+d+e+f 는 6개의 원안에 들어있는 모든 숫자의 합(1+2+3+4+5+6=21)을 뜻합니다. 그리고 d+e+f 는 삼각형의 세 꼭짓점의 있는 수의 합을 뜻합니다.
따라서 6개의 원안에 숫자를 배치하는 방법과 관계없이, 삼각형의 세 변에 합을 모두 더하면 삼각형의 세 꼭지점에 놓인 세 수와 21의 합과 같습니다. 이 것이 바로 이 문제의 첫번째 불변성입니다. 문제에서는 세 줄의 합이 모두 같을 때의 경우의 수를 요구하고 있으므로 $$P=Q=R=S$$라고 하면, 식(1)은 다음과 같이 바뀝니다. $$21+\color{red}{a+d+f}=3S\tag{2}$$입니다. 이 식을 조금 더 변형하면 $$21+\color{red}{a+d+f}=3S\iff \color{red}{a+d+f}=3S-21$$ 가 됩니다. 이 식의 우변은 $$3S-21=\underbrace{3\underbrace{(S-7)}_{\text{정수}}}_{\text{3의 배수}}$$이므로 결국 $$\color{red}{a+d+f}\to \text{3의 배수}$$ 가 되어야 합니다. 이것이 이 문제가 가지는 두번째 불변성입니다.
이제 문제의 모든 불변성이 파악되었으므로 본격적으로 문제에서 요구하는 답을 구할 수 있습니다. 1,2,3,4,5,6 중에서 서로 다른 세 수를 더해서 만들 수 있는 가장 작은 합은 1+2+3=6 이고, 가장 큰 합은 4+5+6=15 이므로 a+d+f 가 될 수 있는 값은
6이상 15이하의 3의 배수, 즉 6, 9, 12, 15 입니다.
\(a+d+f=6\) 일 때
문제에서 예를 든 경우입니다. 1,2,3,4,5,6 중에서 서로 다른 세 수를 더해 6이 되는 경우는 $$1+2+3=6$$인 것이 유일합니다. 식(2)에 \(a+d+f=6\) 을 대입하면 $$21+6=3S\implies S=9$$ 아므로 삼각형의 세 꼭지점에 1, 2, 3을 배열하고, 삼각형의 세 변을 다음과 같이 만들어 주면 삼각형의 각 변에 포함된 세 수의 합을 9로 맞추어 줄 수 있습니다. (각 변마다 양 끝에 있는 2개의 수는 삼각형의 꼭짓점에 해당합니다.)
$$\begin{align}\require{enclose}&\enclose{circle}{1}-\enclose{circle}{\color{red}6}-\enclose{circle}{2}\\
&\enclose{circle}{2}-\enclose{circle}{\color{red}4}-\enclose{circle}{3}\\
&\enclose{circle}{3}-\enclose{circle}{\color{red}5}-\enclose{circle}{1}\end{align}
$$ 이 되어야 합니다.
삼각형의 서로 다른 세 꼭짓점에 1, 2, 3을 배열하는 방법은 \(3!=6\) 가지이고, 세 변을 만드는 방법은 1가지 이므로 모든 경우의 수는 $$6\times1=6\tag{3}$$ 가지입니다. 이 것을 모두 나타내어 보면 다음 그림과 같습니다.
\(a+d+f=9\) 일 때
이 것을 식(2)에 대입하면$$21+9=3S\implies S=10$$이 됩니다. 그런데 1,2,3,4,5,6 중에서 서로 다른 세 수를 더해 9가 되는 경우는 $$\begin{align}&1+2+6=9\\&1+3+5=9\\&2+3+4=9\end{align}$$입니다. 각각의 경우마다 문제의 조건에 맞는 삼각형의 세 변을 만들 수 있는지 확인해보겠습니다.
(1) 1, 2, 6을 삼각형의 꼭짓점에 배열할 때
문제에서 요구하는 조건을 맞출 수가 없습니다. 각 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 10으로 맞추다 보면, 두 개의 변이 문제의 조건을 만족시키지 못하기 때문입니다.
$$\begin{align}&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{1}-\enclose{circle}{\color{red}7}-\enclose{circle}{2}}}_{\text{7이 사용}}\\
&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{2}-\enclose{circle}{\color{red}2}-\enclose{circle}{6}}}_{\text{2가 중복 사용}}\\
\end{align}$$
(2) 1, 3, 5를 삼각형의 꼭짓점에 배열할 때
다음과 같은 방법으로 세 변을 만들면 삼각형의 세 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 10으로 만들 수 있습니다.
$$\begin{align}\require{enclose}&\enclose{circle}{1}-\enclose{circle}{\color{red}6}-\enclose{circle}{3}\\
&\enclose{circle}{3}-\enclose{circle}{\color{red}2}-\enclose{circle}{5}\\
&\enclose{circle}{5}-\enclose{circle}{\color{red}4}-\enclose{circle}{1}\end{align}
$$
삼각형의 서로 다른 세 꼭짓점에 1, 3, 5를 배열하는 방법은 \(3!=6\) 가지이고, 세 변을 만드는 방법은 1가지 이므로 모든 경우의 수는 $$6\times1=6\tag{4}$$ 가지입니다.
(3) 2, 3, 4를 삼각형의 꼭짓점에 배열할 때
문제에서 요구하는 조건을 맞출 수가 없습니다. 각 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 10으로 맞추다 보면, 두 개의 변이 문제의 조건을 만족시키지 못하기 때문입니다.
$$\begin{align}&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{3}-\enclose{circle}{\color{red}3}-\enclose{circle}{4}}}_{\text{3이 중복 사용}}\\
&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{4}-\enclose{circle}{\color{red}4}-\enclose{circle}{2}}}_{\text{4가 중복 사용}}\\
\end{align}$$
\(a+d+f=12\) 일 때
이 것을 식(2)에 대입하면$$21+12=3S\implies S=11$$이 됩니다. 그런데 1,2,3,4,5,6 중에서 서로 다른 세 수를 더해 12가 되는 경우는 $$\begin{align}&1+5+6=12\\&2+4+6=12\\&3+4+5=12\end{align}$$입니다. 각각의 경우마다 문제의 조건에 맞는 삼각형의 세 변을 만들 수 있는지 확인해보겠습니다.
(1) 1, 5, 6을 삼각형의 꼭짓점에 배열할 때
문제에서 요구하는 조건을 맞출 수가 없습니다. 각 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 11로 맞추다 보면, 두 변이 문제의 조건을 만족시키지 못하기 때문입니다.
$$\begin{align}&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{1}-\enclose{circle}{\color{red}5}-\enclose{circle}{5}}}_{\text{5가 중복 사용}}\\
&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{5}-\enclose{circle}{\color{red}0}-\enclose{circle}{6}}}_{\text{0을 사용}}\\
\end{align}$$
(2) 2, 4, 6을 삼각형의 꼭짓점에 배열할 때
다음과 같은 방법으로 세 변을 만들면 삼각형의 세 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 11로 만들 수 있습니다.
$$\begin{align}\require{enclose}&\enclose{circle}{2}-\enclose{circle}{\color{red}5}-\enclose{circle}{4}\\
&\enclose{circle}{4}-\enclose{circle}{\color{red}1}-\enclose{circle}{6}\\
&\enclose{circle}{6}-\enclose{circle}{\color{red}3}-\enclose{circle}{2}\end{align}
$$
삼각형의 서로 다른 세 꼭짓점에 2, 4, 6을 배열하는 방법은 \(3!=6\) 가지이고, 세 변을 만드는 방법은 1가지 이므로 모든 경우의 수는 $$6\times1=6\tag{5}$$ 가지입니다.
(3) 3, 4, 5를 삼각형에 꼭짓점에 배열할 때
문제에서 요구하는 조건을 맞출 수가 없습니다. 각 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 11로 맞추다 보면, 세 개의 변이 문제의 조건을 만족시키지 못하기 때문입니다.
$$\begin{align}&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{3}-\enclose{circle}{\color{red}4}-\enclose{circle}{4}}}_{\text{4가 중복 사용}}\\
&\underbrace{\enclose{horizontalstrike}{\enclose{circle}{5}-\enclose{circle}{\color{red}3}-\enclose{circle}{3}}}_{\text{3이 중복 사용}}\\
\end{align}$$
\(a+d+f=15\) 일 때
1,2,3,4,5,6 중에서 서로 다른 세 수를 더해 15가 되는 경우는 $$4+5+6=15$$ 인 것이 유일합니다. \(a+d+f=15\) 를 식(2)에 대입하면$$21+15=3S\implies S=12$$이 됩니다. 삼각형의 서로 다른 세 꼭짓점에 4, 5, 6을 배열하면 다음과 같은 방법으로 삼각형의 세 변에 포함되어 있는 세 수의 합을 12로 만들 수 있습니다.
$$\begin{align}\require{enclose}&\enclose{circle}{4}-\enclose{circle}{\color{red}3}-\enclose{circle}{5}\\
&\enclose{circle}{5}-\enclose{circle}{\color{red}1}-\enclose{circle}{6}\\
&\enclose{circle}{6}-\enclose{circle}{\color{red}4}-\enclose{circle}{1}\end{align}
$$
삼각형의 서로 다른 세 꼭짓점에 4, 5, 6을 배열하는 방법은 \(3!=6\) 가지이고, 세 변을 만드는 방법은 1가지 이므로 모든 경우의 수는 $$6\times1=6\tag{6}$$ 가지입니다.
따라서 문제의 조건에 맞는 모든 경우의 수는 $$\text{식(3)+식(4)+식(5)+식(6)}=24$$입니다.