도표적분법 또는 표적분법이라고도 알려져 있는 테이블 적분법(tabular integration by parts)은 부분적분법을 빠르게 계산할 수 있는 방법입니다. 예를 들어 \(x^2\cdot e^x\) 의 부정적분 $$\int x^2\cdot e^x dx$$는 다음과 같은 표를 만들어 빠르게 계산할 수 있습니다.
$$\int x^2e^xdx=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C$$ 테이블 적분법은 크게 2가지로 나눌 수 있는데 이 글에서는 첫번째로 다항함수×지수함수나 다항함수×삼각함수 모양을 가진 함수의 테이블 적분법을 예를 들어 설명합니다.
미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.
$$f(x)=g(x)\implies\int f(x)dx=\int g(x)dx$$
이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 \(e^x\sin{x}\) 와 \(e^x\cos{x}\) 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
$$\begin{align}
\int{e^x\sin{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}-e^x\cos{x}\right)+C\\
\int{e^x\cos{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\right)+C\end{align}$$ (more…)
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .
$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$
이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)
실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .
$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$
이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x,\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
\(\sin x,\ \cos x,\ \tan x\) 의 역함수(역삼각함수)를 각각 $$\begin{align}\arcsin x&=\sin^{-1}x\\
\arccos x&=\cos^{-1}x,\\
\arctan x&=\tan^{-1}x\end{align}$$라고 정의할 때,
베이즈 정리란 사후 확률 (posterior probability) 을 사전 확률 (prior probability) 를 이용하여 표현하는 방법으로 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.
사건 B가 먼저 일어난 후 사건 A가 일어날 때, $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$$$\begin{aligned}P(B|A)&\text{ : 사후 확률, 나중에 일어나는 사건 A를 전제로 하는 조건부 확률}\\
P(B)&\text{ : 사전 확률, 사건 A가 일어나기전 사건 B가 일어날 확률}\\
P(A|B)&\text{ : 사건 B가 일어난 후에 사건 A가 일어날 확률}\end{aligned}$$
이 글에서는 베이즈 정리를 직접 유도해보면서 사후 확률과 베이즈 정리의 의미와 목적에 대해 설명하고, 이 정리를 어떻게 활용할 수 있는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
