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이 글에서는 테이블 적분법의 원리를 설명합니다. 테이블 적분의 원리는 부분적분의 귀납적 관계를 이용한 것입니다.

\(f(x)\)를 n번 미분한 함수를 $$ f^{(n)}(x) : f^{(0)}(x),\ f^{(1)}(x),\ f^{(2)}(x),\ f^{(3)}(x),…,\ f^{(n)}(x),…$$ \(g(x)\)를 n번 부정적분(적분상수=0)한 함수를 $$g^{(-n)}(x) : g^{(0)}(x),\ g^{(-1)}(x),\ g^{(-2)}(x),\ g^{(-3)}(x),…,\ g^{(-n)}(x),…$$라 하면, $$\begin{align}\int f(x)g(x)dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f^{(1)}(x)g^{(-1)}(x)dx\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-\left(f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)-\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\right)\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)+\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\\
&=…\end{align}$$ 입니다. 혹시 이 등식의 패턴이 보이시나요? (more…)

부등식을 만족하는 “어떤 값이 존재한다”라는 조건을 가진 문제는 다음과 같이 최솟값이나 최댓값에 관한 조건을 가진 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다. 구체적으로, 다음과 같은 변형이 가능합니다.

\(f(x)\leq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최솟값\(\leq a\) 이다.
\(f(x)\geq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최댓값\(\geq a\) 이다.

이렇게 조건을 변형하는 것은 수학 논리에서 매우 중요한 개념 중 하나이기 때문에 이 개념을 이용해서 만들어진 고난도의 문제들이 종종 출제됩니다. 이 글에서는 이러한 변형의 배경과 원리를 알아보고 이를 이용해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)

실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .

$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)