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사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)의 그래프가 두 개의 변곡점을 가질 조건은

$$3b^2-8ac>0$$

$$\frac{-3b\pm\sqrt{3(3b^2-8bc)}}{12a}$$

원리

사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건은 이계도 함수를 이용하면 간단히 찾을 수 있습니다. 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)의 도함수와 이계도함수는 각각 $$\begin{align}
&f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\
&f^{\prime\prime}(x)=12ax^2+6bx+2c
\end{align}$$ 입니다. 방정식 $$\begin{align}
&f^{\prime\prime}(x)=0\\
&\Leftrightarrow 12ax^2+6bx+2c=0\\
\end{align}$$의 판별식 $$\begin{align}
\frac{D}{4}&=(3b)^2-(12a)(2c)\\
&=9b^2-24ac\\
&=3(3b^2-8ac)
\end{align}$$ 입니다. 따라서 이차 방정식 \(f^{\prime\prime}(x)=12ax^2+6bx+2c=0\)이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 이 방정식의 판별식$$\begin{align}
&\frac{D}{4}>0\\
&\Leftrightarrow 3(3b^2-8ac)>0\\
&\Leftrightarrow 3b^2-8ac>0
\end{align}$$ 입니다.

또한 \(\dfrac{D}{4}>0\) 일 때 이차 방정식 \(f^{\prime\prime}(x)=12ax^2+6bx+2c=0\)의 서로 다른 두 실근은 사차함수 \(f(x)\)의 그래프가 갖고 있는 두 변곡점의 \(x\)좌표입니다. 근의 공식을 사용하면, 두 변곡점의 \(x\)좌표는 $$\frac{-3b\pm\sqrt{3(3b^2-8bc)}}{12a}$$입니다.

변곡점을 갖는 사차함수의 그래프

변곡점을 갖는 사차함수의 그래프를 살펴보겠습니다. 먼저, 극점이 \(3\)개 있는 사차함수의 전형적인 그래프입니다.

변곡점을 경계로 그래프의 모양이 아래로 볼록(보라색)-위로 볼록(초록색)-아래로볼록(갈색)으로 계속해서 바뀌는 것을 알 수 있습니다. 이렇게 극점이 \(3\)개이고, 좌우 대칭인 모양을 갖는 사차함수의 그래프는 문제를 만들 때 좋은 소재가 됩니다. 그렇다면 극점의 개수가 \(1\)개인 사차함수의 그래프는 변곡점을 가질 수 있을까요?  네 가질 수 있습니다. 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)가 변곡점을 가질 조건 \(3b^2-8ac>0\)을 만족한다면 극점이 \(1\)개인 사차함수도 변곡점 \(2\)개를 가질 수 있습니다.

이 그래프 역시 변곡점을 경계로 그래프의 모양이 아래로 볼록(보라색)-위로 볼록(초록색)-아래로볼록(갈색)으로 계속해서 바뀌고 있습니다. 이 그래프 역시 문제를 만들 때 많이 사용되는 그래프입니다.