산술 기하 평균 부등식의 함정

July 13, 2017 부등식, 함수 고급

이 글에서는 산술 기하 평균 부등식을 의미를 살펴보고, 산술 기하 평균 부등식을 올바르게 사용하는 방법에 대해 알아봅니다.

고등학교 수학에서 가장 인기있는 절대 부등식은 아마도 산술 기하 평균 부등식일 것입니다. 보통 이 부등식은 어떤 식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제에서 많이 사용을 하는데요, 혹시 이 부등식을 사용해서 답을 구하려 할 때 제대로 사용하고 있는지 찜찜했던 기억이 있지 않은가요? 실제로 산술 기하 평균 부등식을 잘못 사용하면 올바르지 않은 결과를 얻게 되는 경우가 종종 있습니다.

이렇게 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최솟값을 구했지만 그 값이 올바르지 않은 이유에 대해서 생각해보고, 산술 기하 평균 부등식의 의미를 올바르게 해석하는 방법에 대해서 이야기 해보겠습니다.

산술 기하 평균 부등식의 활용 에 대한 글(클릭) 도 참조해 보세요.

2변수 산술 기하 평균 부등식

2개의 변수를 사용한 산술 기하 평균 부등식은 다음과 같습니다.

음이 아닌 두 실수 $x, y$에 대해서,

$$ x +y \geq2\sqrt{\mathstrut xy}$$단, 등호는 $x=y$ 일때 성립

그리고, 다음 문제를 생각해봅시다.

[문제1]

실수 $x$에 대해서, $x^2+1$의 최솟값을 구하시오.

먼저 올바른 풀이는 다음과 같습니다.

풀이1

$x^2+1$은 $x$에 대한 2차식이므로 2차 함수 $y=x^2+1$을 생각해 보자. 이 함수의 그래프를 그려보면, 꼭짓점의 좌표는 $(0,1)$이 되므로 $y$의 최솟값은 $x=0$일 때 $1$이 된다.

이번에는 같은 문제를 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 문제를 풀어보겠습니다.

풀이2

$x^2$과 $1$ 모두 음이 아닌 실수이므로 산술 기하 평균 부등식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$

등호는 $|x|=1$, 즉 $x=\pm1$일때 성립

따라서 $x^2+1$의 최솟값은 $x=\pm1$일때 $(\pm1)^2+1=2$

앗? 2차 함수를 사용한 [해답1]의 답과는 다른 값을 얻었습니다. 음이 아닌 2개의 실수($x^2$과 $1$)을 사용했기 때문에 산술 기하 평균 부등식은 올바르게 사용한 것입니다. 하지만 결과는 왜 바르지 못할까요?

산술 기하 평균 부등식의 의미

잘못된 답을 얻게된 이유는 산술 기하 평균 부등식의 결과를 잘못 해석하였기 때문입니다. 어떤서부터 잘못되었는지 하나씩 따져 보겠습니다. [풀이2]에서 산술 기하 평균 부등식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었습니다. $$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$

등호는 $|x|=1$일때 성립

이 부등식의 의미는 좌변의 값이 항상 우변의 값보다 같거나 크다라는 것입니다. 좌변과 우변의 식($y=x^2+1, y=|x|$)을 각각 그래프로 그려보면 이 부등식의 의미가 보다 분명해 집니다.

어떻습니까? 좌변에 해당하는 $y=x^2+1$의 그래프가 우변에 해당하는 $y=|x|$의 그래프와 두 점$(-1,2),(1,2)$에서 접하는 것을 제외하고는 항상 위쪽에 있죠? 혹시 이 접점의 $x$좌표 $\pm1$이 어떤 의미를 가지고 있는지 아시겠나요? 그렇습니다. 바로 이 값은 산술 기하 평균 부등식 $$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$에서 등호가 성립할 조건인 것입니다.

따라서 이 부등식은 등호가 성립할 때 즉 $|x|=1$ 일 때 $x^2+1$의 최솟값이 $(\pm1)^2+1=2$이 된다는 것이 아니라, $y=x^2+1$ 의 그래프가 $y=|x|$의 그래프와 만나거나 위에 있다는 것을 알려주는 것입니다. 등호가 성립할 때에는 두 그래프가 만난다고 해석을 해야 합니다. 즉 등호가 성립할 때의 조건은 단지 좌변과 우변의 식을 그래프로 그렸을 때 만나는 점의 $x$좌표가 어디인지를 알려줄 뿐이지 좌변의 식이 어디에서 최소가 되는 지를 알려주는 것은 아닙니다. 그러므로 등호가 성립할 때 항상 좌변의 식이 최소가 되는 것은 아닙니다. ($y=x^2+1$의 그래프를 보면 $x=0$일 때 $y$값이 $x=1$일 때 $y$값보다 더 작습니다.)

산술 기하 평균 부등식을 언제 쓸 수 있는가?

그렇다면 우리가 산술 기하 평균을 사용해서 최대/최솟값을 구할 수 있는 경우는 언제일까요? 앞서 말씀드렸듯이 등호가 성립할 때의 조건을 식에 대입하면 좌변과 우변의 그래프가 만나게 되는데요. 이 때 이 점의 좌표가 각 그래프에서 가장 낮은 점이 되거나, 가장 높은 점이 된다면 최대 최소를 구할 수 있게 됩니다. 특히 좌변이나 우변 중 한 변이 상수가 되면 항상 최댓값이나 최솟값을 구할 수 있게 됩니다. 대표적인 예를 살펴보겠습니다.

[문제2]

$x>0$ 일 때, $x+\frac{1}{x}$의 최솟값을 구하시오.

산술 기하 평균 부등식을 이용한 풀이는 다음과 같습니다.

[풀이]

$x>0$이므로 $\frac{1}{x}>0$ 이다. 따라서 산술 기하 평균 부등식을 사용하면,

$$x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$$

등호는 $x=\frac{1}{x}$, 즉 $x=1$일때 성립한다. 따라서 $x+\frac{1}{x}$의 최솟값은 $1+\frac{1}{1}=2$

[문제2]의 풀이에서 $x+{1\over x}\ge2$ 라는 결과를 얻을 수 있었습니다. 우변이 상수가 되었군요. 이 부등식의 뜻은 $y=x+{1\over x}$의 그래프가 항상 $y=2$의 그래프와 만나거나 위에 있다는 것입니다. 특히 등호가 $x=1$일때 성립한다는 것은 두 그래프가 만나는 교점의 $x$좌표가 $(1,2)$이라는 뜻입니다. 이번에도 좌변과 우변의 식($y=x+{1\over x}$과 $y=2$)을 각각 그래프로 옮겨보면 이러한 사실을 분명하게 이해할 수 있습니다.

$y=x+{1\over x}$ 그래프의 점 중 가장 낮은 점의 좌표는 $(1,2)$입니다. 그러므로 $x+{1\over x}$의 최솟값은 $2$가 됩니다. 이 문제에서 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최솟값을 계산할 수 있는 이유는 우변의 그래프가 $x$축에 평행한 직선, 즉 기울기가 $0$인 직선이기 때문입니다. (또는 $y$값이 상수라고 표현할 수도 있습니다.)

이 직선은 높이의 변화가 없기 때문에 $y=x+{1\over x}$의 그래프는 이 직선 밑으로 내려갈 수가 없습니다. 즉 $x>0$ 일 때, $y=x+{1\over x}$의 그래프에서 모든 점의 $y$좌표는 $2$보다 작을 수가 없게 됩니다. 따라서 점 $(1,2)$는 $y=x+{1\over x}$의 그래프에서 가장 낮은 점이므로 $x+{1\over x}$의 최솟값은 $x=1$일 때 $2$가 됩니다.

산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최댓값이나 최솟값을 구할 때에는 결과의 의미를 항상 올바르게 해석을 하는 것이 중요합니다. 부등식의 좌변이나 우변이 상수가 아니라면, 더 주의해서 결과를 해석해 보아야 합니다.

여기까지 읽어보신 분들은 간단한 연습문제를 직접 풀어보는 것은 어떨까요?

[문제3]

실수 $x$에 대해 $x^2+(4-x)^2$의 최솟값을 구하시오.

어떻습니까? 산술 기하 평균 부등식을 이용해서 이 문제를 풀 수 있을까요? 만약 그렇지 않다면 왜 그럴까요?

[풀이]

풀이 열기

[문제1]과는 달리 산술 기하 평균 부등식만을 사용한 결과가 그래프를 이용한 결과와 다르지 않습니다. 즉 산술 기하 평균 부등식만으로도 충분히 최솟값을 구할 수 있는 것 처럼 보입니다. 하지만 실제로 산술 기하 평균 부등식만으로는 이 값이 진짜 최솟값인지는 보장하기에는 근거가 부족합니다. (객관식 문제라면 정답이 되겠지만, 서술형 문제라면 감점이 됩니다.)

산술 기하 평균 부등식만으로 결론을 내리기에 어떤 점이 부족한지 생각해보겠습니다. 먼저 산술 기하 평균 부등식을 적용하면 다음과 같은 결론을 얻게 됩니다.

$$x^2+(4-x)^2\ge2\sqrt{x^2(4-x)^2}=2|x||4-x|=2|x(4-x)|$$이고, 등호는 $x^2=(4-x)^2$, 즉 $x=2$일 때 성립.

따라서 최솟값은 $$2^2+(4-2)^2=8$$ 앞서 언급했듯이, 이 값은 사실 올바른 최솟값입니다. 하지만 어떤 점이 문제가 될 수 있을까요? 바로 부등식의 우변에 해당하는 식, $2|x(4-x)|$ 가 상수가 아니라는 점입니다.

논의를 간단히 하기 위해 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 다음과 같이 정의 하면. $$f(x)=x^2+(4-x)^2, g(x)=2|x(4-x)|$$

앞서의 산술 기하 평균 부등식은 다음처럼 다시 쓸 수 있습니다.

모든 실수 $x$에서, $$f(x)\ge g(x)$$ 단, 등호는 $x=2$일 때 성립.

[문제1]의 풀이에서 설명한 바와 같이 이 부등식은 $y=f(x)$의 그래프가 $x=2$일 때 $y=g(x)$와 접하고, 그 이외의 부분에서는 항상 $y=f(x)$의 그래프가 $y=g(x)$의 그래프 보다 위쪽에 그려지게 된다는 것을 의미합니다.

그런데, $y=g(x)$의 그래프를 그려보면 $y\ge 0$이고 산술 기하 평균 부등식에서 $f(x)\ge g(x)$이므로 $y=f(x)$의 그래프에서도 $y\ge 0$ 이라고 할 수 있습니다. 그러므로 $y=f(x)$의 그래프에서 $y$값이 0과 8$(=f(2))$ 사이에 존재 할 수 있는 가능성이 여전히 남아 있게 됩니다.

즉 산술 기하 평균 부등식 만으로는 8보다 작은 $y$ 값이 만들어 질 수 있는 가능성을 완전히 배제 할 수가 없기 때문에 8이 $y=f(x)$의 최솟값이라고 결론을 내리기에는 근거가 부족합니다. 정말로 이 값이 최소가 되는지 보여주려면 아래 그림처럼 $y=f(x)$의 그래프를 그려서 $y$의 값이 0과 8사이에 존재하지 않는다는 것을 따로 확인해 주어야 합니다.

이 문제에서는 산술 기하 평균 부등식의 우변, 즉 $y=g(x)$가 상수가 아니므로 산술 기하 평균 부등식 만으로는 최솟값을 구하는 것은 근거가 부족하게 됩니다. 산술 기하 평균 부등식을 사용할 때는 부등식의 우변이나 좌변이 상수가 되는지를 확인해 주시면 좋겠습니다.

개념과 활용, 산술기하평균

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ASJ

6 years ago

정말 궁금했던 점이었는데, 깔끔하게 정리해주신 덕에 자세히 알고 갑니다. 고마워요! 🙂

김기본

6 years ago

정말 이해하기쉽고 질좋은 글 감사합니다

지완

6 years ago

선생님 글 잘 읽었습니다.

KSJ

6 years ago

문제3 풀어봤는데 해설이 있는지 궁금합니다ㅠㅜ 풀이과정을 보고싶어요

Author

2변수 산술 기하 평균 부등식

[문제1]

풀이1

풀이2

산술 기하 평균 부등식의 의미

산술 기하 평균 부등식을 언제 쓸 수 있는가?

[문제2]

[풀이]

[문제3]

[풀이]

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