이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉, 

$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$

이고, \(f(x)\)의 그래프가 이중접선을 갖기 위한 조건은

$$3b^2-8ac>0$$

입니다. 그리고 이 때, 이중접선의 방정식은

$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$

입니다. 이 글에서는 이 조건을 증명하고, 이중접선의 방정식을 유도합니다.

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좌표평면 위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 \(1\)개에서 \(3\)개로 점 \((a,b)\)의 위치에 따라 달라집니다.

이 글에서는 점 \((a,b)\)에서 그을 수 있는 접선의 개수가 점 \((a,b)\)에 따라 어떻게 달라지는지 그 이유는 무엇인지를 구체적으로 알아봅니다.

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문제를 풀다보면 특정한 조건을 만족하는 상황에서 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수를 구해야 할 때가 종종 있습니다. 삼차함수 \(f(x)\)와 도함수 \(f'(x)\), 두 실수 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대해, \(f'(\alpha)=f'(\beta)=0\)이면, 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{조건} & \text{근의 개수}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)>0 & \text{\(1\)개}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)=0 & \begin{array} {c|c} \alpha=\beta & \text{\(1\)개}\\\hline \alpha \ne \beta & \text{\(2\) 개}\end{array} \\\hline
f(\alpha)f(\beta)<0 & \text{\(3\) 개}
\end{array}$$

이 글에서는 조건 \(f'(\alpha)=f'(\beta)=0\)을 만족할 때, 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수를 구하는 방법을 살펴보고, 이렇게 경우를 나눌 때의 장점은 무엇인지 생각해 보겠습니다. (more…)

삼차함수 \(f(x)\)는 이중접선을 가지지 않습니다. 이 글에서는 삼차함수의 이중접선이 존재하지 않는 이유를 알아보고, 다른 문제들이 어떻게 이 사실을 이용하고 있는지 살펴보겠습니다. (more…)