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문제를 풀다보면 특정한 조건을 만족하는 상황에서 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수를 구해야 할 때가 종종 있습니다. 삼차함수 \(f(x)\)와 도함수 \(f'(x)\), 두 실수 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대해, \(f'(\alpha)=f'(\beta)=0\)이면, 삼차방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{조건} & \text{근의 개수}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)>0 & \text{\(1\)개}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)=0 & \begin{array} {c|c} \alpha=\beta & \text{\(1\)개}\\\hline \alpha \ne \beta & \text{\(2\) 개}\end{array} \\\hline
f(\alpha)f(\beta)<0 & \text{\(3\) 개}
\end{array}$$

전제조건

삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수

삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 \(1\)로 두어도 충분히 원하는 결과를 얻을 수 있습니다. 왜냐하면 \(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대해, 방정식$$\begin{align}
&a(x^3+px^2+qx+r)=0\\
&\Leftrightarrow x^3+px^2+qx+r=0
\end{align}$$이므로, 두 방정식 $$\begin{align}
&a(x^3+px^2+qx+r)=0\\
&x^3+px^2+qx+r=0
\end{align}$$의 근은 완전히 일치하기 때문입니다.

\(\alpha\)와 \(\beta\)의 대소관계

\(\alpha\leq \beta\) 라고 두어도 일반성을 잃지 않습니다. \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이므로, \(f'(\alpha)=f'(\beta)=0\)일 때$$f'(x)=3(x-\alpha)(x-\beta)$$입니다. 따라서 \(\alpha=\beta\)라면 이차방정식 \(f'(x)=0\)은 중근 \(x=\alpha\)를 갖고, \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 증가함수가 됩니다.

만약 \(\alpha\ne\beta\)라면, 이차방정식 \(f'(x)=0\)은 서로 다른 두 실근 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)를 갖습니다. 증감표를 그려 확인해 보면, 삼차함수 \(f(x)\)는 극댓값 \(f(\alpha)\)와 극솟값 \(f(\beta)\)를 갖는 것을 알 수 있습니다. $$\begin{array} {c |c|c|c|c|c}
&\cdots&\alpha&\cdots&\beta&\cdots\\ \hline
f'(x) &+&0&-&0&+\\ \hline
f(x) &\nearrow&f(\alpha)&\searrow&f(\beta)&\nearrow\\ \hline
& &\text{극대}& &\text{극소}&
\end{array}$$ 이제 $$\begin{align}
&\text{① : }f(\alpha)f(\beta)>0\\
&\text{② : }f(\alpha)f(\beta)=0\\
&\text{③ : }f(\alpha)f(\beta)<0
\end{align}$$의 경우로 나누어 근의 개수를 조사해 줍니다.

①: \(f(\alpha)f(\beta)>0\)

\(\alpha\)와 \(\beta\)의 값과 관계없이 방정식 \(f(x)=0\)은 언제나 \(1\)개의 실근을 갖습니다.

\(\alpha=\beta\) 일 때

\(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 증가함수입니다. 따라서 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 한점에서 만나게 됩니다. 구체적으로, \(\alpha=\beta\)일 때, $$\begin{align}
&f(\alpha)f(\beta)>0\\
&\Leftrightarrow f(\alpha)^2>0\\
&\Leftrightarrow f(\alpha) >0\text{ 또는 }f(\alpha)<0
\end{align}$$ 입니다. 함수 \(f(x)\)의 그래프의 개형을 그려보면 \(f(\alpha) >0\) 일 때와 \(f(\alpha) <0\) 일 때 모두 \(x\)축과 한 점에서 만난다는 것을 확인할 수 있습니다.

[\(\alpha=\beta\), \(f(\alpha)>0\)]

[\(\alpha=\beta\), \(f(\alpha)<0\)]

\(\alpha\ne\beta\) 일 때

$$\begin{align}
&f(\alpha)f(\beta)>0\\
&\Leftrightarrow (f(\alpha)>0\text{ 이고 }f(\beta)>0)\text{ 또는 }  (f(\alpha)<0\text{ 이고 }f(\beta)<0) \end{align}$$ 입니다. 즉, 삼차함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(f(\alpha)\)와 극솟값\(f(\beta)\) 모두 양수이거나 음수가 됩니다. 극댓값과 극솟값 모두 양수일 때와 음수일 때 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프의 개형을 그려보면 두 경우 모두 \(x\)축과 한 점에서 만난다는 것을 알 수 있습니다.

[\(\alpha\ne\beta\), \(f(\alpha)>0\), \(f(\beta)>0\)]

[\(\alpha\ne\beta\), \(f(\alpha)<0\), \(f(\beta)<0\)]

② : \(f(\alpha)f(\beta)=0\)

방정식 \(f(x)=0\)은 \(\alpha=\beta\) 일 때 \(1\)개의 실근, \(\alpha\ne\beta\) 일 때 \(2\)개의 실근을 갖습니다.

\(\alpha=\beta\) 일 때

\(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하는 함수입니다. 구체적으로, \(\alpha=\beta\)이면 $$\begin{align}
&f(\alpha)f(\beta)=0\\
&\Leftrightarrow f(\alpha)^2=0\\
&\Leftrightarrow f(\alpha)=0\\
\end{align}$$ 입니다. 즉, $$f(\alpha)=f'(\alpha)=0$$이므로 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 \(x\)축에 접하게 됩니다. 따라서 방정식 \(f(x)=0\)은 한 개의 근 \(x=\alpha\) (삼중근) 을 갖습니다.

[\(\alpha=\beta\), \(f(\alpha\)=0]

\(\alpha \ne \beta\)일 때

$$\begin{align}
&f(\alpha)f(\beta)=0\\
&\Leftrightarrow f(\alpha)=0\text{ 또는 }f(\beta)=0\\
\end{align}$$ 입니다. 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프의 개형을 그려보면 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(f(\alpha)=0\)인 경우와 극솟값 \(f(\beta)=0\)인 경우 모두 \(x\)축과 두 점에서 만난다는 것을 알 수있습니다. (\(f(\alpha)=0\)이면, 중근 \(x=\alpha\)와 다른 실근 \(1\)개를 갖고, \(f(\beta)=0\)이면, 중근 \(x=\beta\)와 또 다른 실근 \(1\)개를 갖습니다.)  따라서 방정식 \(f(x)=0\)의 실근의 개수는 \(2\)개입니다.

[\(\alpha\ne\beta\), \(f(\alpha\)=0]

[\(\alpha\ne\beta\), \(f(\beta\)=0]

③ : \(f(\alpha)f(\beta)<0\)

방정식 \(f(x)=0\)은 항상 세 실근을 갖습니다.

이 경우, 항상 \(\alpha\ne \beta\) 입니다. 만약 \(\alpha=\beta\)라고 가정하면 $$\begin{align}
&f(\alpha)f(\beta)\\
&=f(\alpha)f(\alpha)\\
&=f(\alpha)^2\geq 0
\end{align}$$입니다. 이것은 \(f(\alpha)f(\beta) < 0\)라는 가정과 모순입니다. 따라서 \(f(\alpha)(f(\beta)<0\) 이면 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(f(\alpha)\)은 양수, 극솟값 \(f(\beta)\)는 음수가 되어야 하므로 \(f(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 항상 세 점에서 만나야 합니다.

[\(f(\alpha)>0\), \(f(\beta)<0\)]

판별식의 값으로 경우를 나누지 않은 이유

그렇다면 경우를 이렇게 나누어서 근의 개수를 구한 이유는 무엇일까요? 다른 방법으로 근의 개수를 찾을 수는 없을까요?

[전제조건]에서 \(\alpha=\beta\)일 때, 방정식 \(f'(x)=0\)은 중근을 갖고, 삼차함수 \(f(x)\)는 증가함수아므로 \(f(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 한 점에서 만나게 됩니다. 따라서 처음부터 \(\alpha=\beta\)일 때와 \(\alpha\ne\beta\) 일 때로 구분해 풀어도 방정식 \(f(x)=0\)의 근의 개수를 알아낼 수 있습니다. 하지만 이렇게 경우를 나누면 해야할 일이 많아지기 때문에 답안이 복잡해지는 단점이 있습니다. 두 방법을 비교하기 위해 먼저 이 글에서 설명했던 경우 나누기 방법을 다시 한번 살펴보겠습니다.

$$\begin{array}{c|c}
\text{조건} & \text{근의 개수}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)>0 & \text{\(1\)개}\\\hline
f(\alpha)f(\beta)=0 & \begin{array} {c|c} \color{red}{\alpha=\beta} & \text{\(1\)개}\\\hline \color{red}{\alpha \ne \beta} & \text{\(2\) 개}\end{array} \\\hline
f(\alpha)f(\beta)<0 & \text{\(3\) 개}
\end{array}$$

다음으로, \(\alpha=\beta\)일 때와 \(\alpha\ne\beta\)일 때로 나누어 근의 개수를 조사할 때 해주어야 하는 일을 살펴보겠습니다. $$\begin{array}{ c| c| c }
\text{조건} & \text{실근의 개수} & \text {비고}\\\hline
\alpha=\beta & \text{\(1\)개} & \\\hline
f(\alpha)f(\beta) >0 & \text{\(1\)개} & \color{red}{\text{\(\alpha\ne\beta\) 확인}} \\\hline
f(\alpha)f(\beta) =0 & \text{\(2\)개} & \color{red}{\text{\(\alpha\ne\beta\) 확인}} \\\hline
f(\alpha)f(\beta) <0 & \text{\(3\)개} & \color{red}{\text{\(\alpha\ne\beta\) 확인}} \\\hline
\end{array}$$ 모두 \(4\)개의 조건을 풀어야 하고, 세 개의 조건 (붉은 색으로 표시한 부분)에서 \(\alpha=\beta\)일 때의 경우를 제거하고 \(\alpha=\beta\)인 경우만 남기는 추가 작업을 더 해주어야 합니다. 따라서 이러한 방법으로 근의 개수를 구하려고 한다면 작업의 수가 늘어나게 되어 답안 작성이 복잡해 지고 까다로워지는 단점이 있습니다. 따라서 이 글에서 설명한 방법으로 경우를 나누는 것이 더 좋습니다. 이 글에서 설명한 방법의 장점은 좌표평면위의 점 \((a,b)\)에서 삼차함수의 그래프에 그은 접선의 개수를 구할 때에도 분명히 드러납니다.

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