삼차함수의 이중접선이 존재하지 않는 이유

삼차함수 $f(x)$는 이중접선을 가지지 않습니다. 이 글에서는 삼차함수의 이중접선이 존재하지 않는 이유를 알아보고, 다른 문제들이 어떻게 이 사실을 이용하고 있는지 살펴보겠습니다.

준비물

삼차함수가 이중접선을 갖지 않는다는 것을 증명하기 위해서는 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]이 필요합니다.

두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질

다항함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 $x=t$ 에서 접할 때, 두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 $x=t$ 를 가진다. 즉, $f(x)-g(x)$는 $(x-t)^2$을 인수로 갖는다.

증명

삼차함수 $f(x)$가 이중접선을 가질수 없는 것을 보이기 위해서 귀류법을 사용합니다. 귀류법을 사용하기 위해 이중 접선을 가질 수 없다는 것을 부정하고, 증명을 시작합니다.

가정 : 삼차함수 $f(x)$는 이중접선 $g(x)=mx+n$을 가진다

삼차함수 $f(x)$와 이중접선 $g(x)=mx+n$의 두 접점의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 두 함수의 차 $f(x)-g(x)$는 $(x-\alpha)^2$과 $(x-\beta)^2$을 인수로 가져야 합니다. 따라서 $$f(x)-g(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2Q(x)\tag{1}\label{eq1}$$로 쓸 수 있습니다. 이제 식$\eqref{eq1}$의 양변의 차수를 비교해 보겠습니다. 먼저 식$\eqref{eq1}$의 좌변 $$f(x)-g(x)$$를 살펴보면, $f(x)$는 $3$차식이고 $g(x)$는 일차이하의 다항식이므로 식$\eqref{eq1}$의 좌변 $f(x)-g(x)$은 삼차식이 되어야 합니다.

그런데, 식$\eqref{eq1}$의 우변 $$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2Q(x)$$의 차수는 $Q(x)$를 상수항으로 보더라도 최소 사차식이 되어야 합니다. 즉, 식$\eqref{eq1}$은 $$삼차식=사차이상의\ 식$$이라는 것을 모순을 주장하고 있는 셈입니다 . 그렇다면 이 모순은 어디서 생긴 것일까요? 바로 삼차함수 $f(x)$가 이중접선을 갖는다고 가정한 것에서 비롯된 것입니다. 따라서 삼차함수는 이중접선을 가질 수 없습니다.