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이차다항식의 제곱완성이란 이차다항식 \(ax^2+bx+c\)를 다음과 같이  $$ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$$ 완전제곱식 \((x-p)^2\)을 사용하여 식의 모양을 바꾸어주는 것을 말합니다. 바꾸어 주는 것을 을 제곱완성이라고 합니다. 마찬가지로, \(a>0\)인 사차식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+dx+e\)를 다음과 같이 이차식의 완전제곱식 \((\sqrt{a}x^2+px+q)^2\)을 이용하여 식의 모양을 바꾸는 것을 사차다항식의 제곱완성이라고 합니다.

$$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\
&=(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\end{align}$$

사차다항식의 제곱완성

$$\begin{align}
&(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\\
&=ax^4+2\sqrt{a}px^3+(2\sqrt{a}q+p^2)x^2\\
&+(2pq+m)x+q^2+n\end{align}$$ 입니다. 이 식이 $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$과 같다고 두고 각 식의 계수를 비교하면 $$\begin{array}{c | c | c | c }
\text{\(x^3\)의 계수} & b & 2\sqrt{a}p & p=\frac{b}{2\sqrt{a}} \\ \hline
\text{\(x^2\)의 계수} & c & 2\sqrt{a}q + p^2 & q = \frac{c-p}{2\sqrt{a}}\\ \hline
\text{\(x\)의 계수} & d & 2pq+m & m = d-2pq\\ \hline
\text{상수항} & e & q^2 +n  & n=e-q^2
\end{array}$$

이 계수 비교의 목적은 사차식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)의 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\)를 사용하여 제곱완성에 필요한 \(p\), \(q\), \(m\), \(n\)을 구하는 것입니다. 다음과 같이 \(x^3\)의 계수부터 내림차순으로 계수 비교를 하면 \(p\), \(q\), \(m\), \(n\)을 순서대로 계산할 수 있습니다.

[STEP 1]. \(x^3\) 의 계수를 비교하여  \(p\)의 값을 계산합니다. \(\left(p=\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\right)\)

[STEP 2]. \(x^2\) 의 계수를 비교하고, 앞서 계산한 \(p\)의 값을 이용해 \(q\)의 값을 계산합니다. \(\left(q = \dfrac{c-p}{2\sqrt{a}}\right)\)

[STEP 3]. \(x\) 의 계수를 비교하고, 앞서 계산한 \(p\),\(q\)의 값을 이용해 \(m\)의 값을 찾아줍니다. \((m = d-2pq)\)

[STEP 4]. 마지막으로 상수항을 비교하고, 앞서 계산한 \(q\)의 값을 이용해 \(n\)의 값을 계산합니다. \((n=e-q^2)\)

문제

문제 풀이를 통해 사차다항삭의 제곱완성을 연습해 보겠습니다.

[문제1]

다음 사차다항식 $$x^4+2x^3-x^2+1$$을 제곱완성하시오.

풀이

최고차항의 계수가 \(1\)이므로, $$\begin{align}
&x^4+2x^3-x^2+1\\
&=(x^2+px+q)^2+mx+n
\end{align}$$로 제곱완성을 합니다. $$\begin{align}
&(x^2+px+q)^2\\
&=x^4+2px^3+(2q+p^2)x^2\\
&+(2pq+m)x+q^2+n\end{align}$$이므로 이 식의 계수와 \(x^4+2x^3-x^2+1\)의 계수를 비교하면

$$\begin{array}{c | c | c | c }
\text{\(x^3\)의 계수} & 2 & 2p & p=1 \\ \hline
\text{\(x^2\)의 계수} & -1 & \begin{array}{l}
2q+p^2\\
=2q+1\end{array} & q = -1\\ \hline
\text{\(x\)의 계수} & 0 &\begin{array}{l}
2pq+m\\
=2\cdot 1 \cdot(-1)+m\\
=-2+m
\end{array}& m =2\\ \hline
\text{상수항} & 1 & \begin{array}{l}
q^2 +n\\
=(-1)^2+n\\
=1+n
\end{array}  & n=0
\end{array}$$ 따라서 \(p=1\), \(q=-1\), \(m=2\),\(n=0\)이므로 이 값을  \((x^2+px+q)^2+mx+n\)에 대입하면  $$\begin{align}&x^4+2x^3-x^2+1\\
&=(x^2+x-1)^2+2x\end{align}$$ 로 제곱완성을 할 수 있습니다.

사차 다항식 제곱완성의 활용

사차다항식 제곱완성의 가장 큰 활용방법은 이중접선을 찾는 것입니다. 이중접선은 사차함수의 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 직선입니다. 만일 \(\sqrt{a}x^2+px+q\) 의 판별식 \(D\)가 \(0\)보다 크면, 즉, $$D=p^2-4\sqrt{a}q>0$$ 이면 방정식 $$\sqrt{a}x^2+px+q=0$$은 서로 다른 두 개의 실근 \(s\), \(t\)를 갖게 됩니다. 따라서 \(D>0\)일 때, $$\begin{align}&(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\\&=(\sqrt{a}(x-s)(x-t))^2+mx+n\\&=a(x-s)^2(x-t)^2+mx+n\end{align}$$ 입니다. $$\begin{align}f(x)&=(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\\
g(x)&=mx+n\end{align}$$으로 두면 \(f(x)\) 는 사차함수이고, \(y=g(x)\) 는 \(m\)의 값에 따라 일차함수\((m\ne 0)\) 또는 상수함수\((m=0)\)이 됩니다. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)의 그래프가 만나는 점은 방정식 \(f(x)=g(x)\)를 풀면 찾을 수 있습니다. 그런데,  $$\begin{align}&f(x)=g(x)\\&\Leftrightarrow (x^2+px+q)^2+mx+n=mx+n\\&\Leftrightarrow (x^2+px+q)^2=0\\&\Leftrightarrow (x-s)^2(x-t)^2=0\end{align}$$ 이므로 \(s\)와 \(t\)는 방정식 \(f(x)=g(x)\)의 중근이 됩니다. (즉, \(s\)와 \(t\)는 이중접선이 함수 \(f(x)\)의 그래프와 접하는 두 점의 \(x\)좌표가 됩니다.)  그러므로 \(y=g(x)\) 는 사차함수 \(y=f(x)\) 의 이중 접선의 방정식입니다.

[문제1]에서 $$\begin{align}&x^4+2x^3-x^2+1\\&=(x^2+x-1)^2+\color{red}{2x}\end{align}$$ 이므로 사차함수 \(y=x^4+2x^3-x^2+1\)의 이중접선의 방정식은 \(y=\color{red}{2x}\) 입니다.