정답을 부르는 개념 – 사차함수와 이중 접선

사차함수의 이중 접선이란 사차함수의 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선입니다. 이중 접선의 방정식을 구하거나 성질을 이용하는 것은 시험에서 자주 출제되는 아주 중요한 주제중 하나입니다.

이중 접선의 방정식은 여러 방법으로 찾을 수 있습니다. 그중 가장 중요한 것은 두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질을 이용한 방법입니다. 이 방법을 사용하면 미분없이 사차함수의 이중 접선을 찾을 수 있습니다.

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이중접선

사차함수의 이중 접선은 다음 그림과 같이 사차함수의 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선입니다. 이 접선은 아래 [관련 문제] 항목에서도 알 수 있듯이 자주 출제되는 아주 중요한 개념입니다. 따라서 이중 접선의 방정식과 이 것과 관련된 다항식의 성질을 잘 알고 있어야 합니다.

미분을 사용하지 않고 이중 접선의 방정식을 구하기 위해서는 다음과 같은 다항식의 성질을 사용합니다.

두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질

 다항함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x=t\) 에서 접할 때, 두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(x=t\) 를 가진다.

두 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(y=g(x)\) 가 \(x=t\) 에서 접하기 때문에 두 곡선은 \(x=t\) 에서  교점을 가지고, 그 점에서 동일한 접선을 공유합니다. 따라서 $$f(t)=g(t)\Rightarrow f(t)-g(t)=0\tag{1}\label{eq1}$$$$f'(t)=g'(t)\Rightarrow f'(t)-g'(t)=0\tag{2}\label{eq2}$$이 됩니다. 이제 $$h(x)=f(x)-g(x)$$라고 하면, 식\(\eqref{eq1}\)과 \(\eqref{eq2}\)에서 $$h(t)=f(t)-g(t)=0$$$$h'(t)=f'(t)-g'(t)=0$$입니다. 따라서 다항식 \(h(x)\) 는 \((x-t)^2\) 를 인수로 갖게 됩니다.  $$h(x)=(x-t)^2Q(x)$$따라서 방정식 $$h(x)=0$$은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. $$\begin{align}&h(x)=0\\&\iff f(x)-g(x)=0\\&\iff (x-t)^2Q(x)=0\end{align}$$ 방정식 \(f(x)-g(x)=0\) 은 \(x=t\) 를 중근으로 갖게 됩니다.

\((x-s)^2(x-t)^2\) 전개식의 성질

\((x-s)^2(x-t)^2\) 의 전개식은 재미있는 특징을 갖고 있습니다. $$\begin{eqnarray*}
(x-s)^2(x-t)^2&=&x^4-2(s+t)x^3\\
&&{}+(s^2+4st+t^2)x^2\\
&&{}-2st(s+t)x+s^2t^2
\end{eqnarray*}$$ 입니다. 혹시 이 전개식의 특징이 보이시나요?  \(x^2\)의 계수 $$s^2+4st+t^2=(s+t)^2+2st$$이고 상수항 $$s^2t^2=(st)^2$$이므로 모든 항의 계수들을 \(s+t\) 와 \(st\) 만을 사용하여 나타내는 것이 가능합니다. (즉, 모든 항의 계수는 2개의 문자 \(s\)와 \(t\)를 사용하는 대칭식입니다.) 따라서 이 식을 전개할 때 가장 먼저 주목해야 할 값은 \(s+t\) 와 \(st\) 입니다.

이중 접선의 방정식

이제 사차함수의 이중 접선을 구하는데 필요한 성질을 모두 알아보았으니, 이 성질들을 활용해 사차 함수의 이중 접선의 방정식을 찾아보겠습니다. 다음 문제는 2012 학년도 경찰대 입학 시험 문제입니다.

문제

곡선 \(f(x)=x^4-3x^2+6x+1\) 위의 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이

먼저 문제에서 요구하는 이중 접선을 방정식을 $$g(x)=ax+b$$로 하고, 이 접선이 사차함수의 그래프와 동시에 접하는 서로 다른 두 접점의 \(x\) 좌표를 각각 \(s\), \(t\) 로 두겠습니다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 접선 \(y=g(x)\) 는 서로 다른 두 점에서 동시에 접하고 있으므로 [두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질]에 의해 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(s\) 와 \(t\) 를 갖게 됩니다. 따라서 \((x-s)^2\) 과 \((x-t)^2\) 은 \(f(x)-g(x)\) 의 인수가 되어 $$f(x)-g(x)=(x-s)^2(x-t)^2Q(x)\tag{3}\label{eq3}$$로 놓을 수 있습니다.

식\(\eqref{eq3}\)의 양변을 비교하면 \(Q(x)\)를 구할 수 있습니다. 먼저 \(Q(x)\)의 차수를 결정해보겠습니다. \(f(x)\)는 사차식, \(g(x)\)는 1차식이므로 식\(\eqref{eq3}\)의 좌변 \(f(x)-g(x)\)는 사차식이고, 식\(\eqref{eq3}\)의 우변에서 $$(x-s)^2(x-t)^2$$도 사차식입니다. 따라서 식\(\eqref{eq3}\)의 양변의 차수가 같으려면 \(Q(x)\) 는 상수 \(k\)가 되어야 합니다. 따라서 $$f(x)-g(x)=k(x-s)^2(x-t)^2$$입니다. 이제 식\(\eqref{eq3}\)의 양변에서 최고차항인 \(x^4\)의 계수를 비교하면 상수 \(k\)의 값을 알 수 있습니다. 좌변 \(f(x)-g(x)\)에서 \(f(x)\)는 사차식이고 \(g(x)\)는 일차식이므로 좌변에서 \(x^4\)의 계수는 \(f(x)\)의 최고차항의 계수 \(1\)과 같습니다. 그리고 우변에서 \(x^4\)의 계수는 \(k\)이므로 \(k=1\) 이 어야 합니다. 그러므로 $$f(x)-g(x)=(x-s)^2(x-t)^2$$입니다. 그런데 $$f(x)=x^4-3x^2+6x+1$$$$g(x)=ax+b$$이므로$$\begin{align}&f(x)-g(x)\\&=x^4-3x^2+6x+1-(ax+b)\\
&=(x-s)^2(x-t)^2\end{align}$$ 입니다. 이제 이 식의 좌변과 우변을 각각 정리해서 계수를 비교해 보겠습니다. 먼저 좌변을 정리하면 $$\begin{align}&x^4-3x^2+6x+1-(ax+b)\\
&=x^4-3x^2+(6-a)x+1-b\end{align}$$이고 우변을 정리하면 $$\begin{eqnarray*}
(x-s)^2(x-t)^2&=&x^4-2(s+t)x^3\\
&&{}+(s^2+4st+t^2)x^2\\
&&{}-2st(s+t)x+s^2t^2
\end{eqnarray*}$$ 입니다. 이제 \(s+t\) 와 \(st\) 의 값에 주목하면서 계수를 비교해 보겠습니다.

먼저, \(x^3\)과 \(x^2\)의 계수를 비교하면 \(s+t\) 와 \(st\) 의 값을 알아낼 수 있습니다.

① \(x^3\)의 계수비교 : $$0=2(s+t)\Rightarrow s+t=0$$
② \(x^2\)의 계수비교 :
$$\begin{align}-3&=s^2+4st+t^2\\&=(s+t)^2-2st\\&=0^2+2st\\&\Rightarrow st=-\frac{3}{2}\end{align}$$입니다.  이제 양변에서 \(x\)의 계수와 상수항을 비교하면 \(a\)와 \(b\)를 구할 수 있습니다. 이 때 앞서 구해놓은 $$s+t=0,\ st=-\frac{3}{2}$$을 이용합니다.

③\(x\)의 계수비교 : $$\begin{align}6-a&=-2st(s+t)\\&=-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\cdot 0\\&=0\\&\Rightarrow a=6\end{align}$$
④상수항 비교 : $$\begin{align}1-b&=s^2t^2\\&=(st)^2=\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\&\Rightarrow b=-\frac{5}{4}\end{align}$$

따라서 곡선 \(f(x)=x^4-3x^2+6x+1\) 에 접하는 이중 접선의 방정식은$$y=ax+b=6x-\frac54$$입니다.

관련 문제

●2019학년도 9월 평가원 모의고사 가형 30번
●2017학년도 수능 가형 30번
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●2011학년도 7월 교육청 모의고사 나형 20번

14 Comments
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이원종
5 years ago

좋은 글 올려주셔서 감사합니다!
비슷한 소재로 ‘다항함수와 접선의 연립방정식은 중근을 갖는다 / 다항함수와 직선의 연립방정식이 중근을 가지면, 그 직선은 접선이다’
이 내용이 연세대학교 논술 문제 1번으로 나왔던 것 같네요..

공부하면서 한 가지 아쉬웠던 점이, 실제 접선에 관한 정의는 할선의 극한으로 널리 알려져 있는데 접한다의 정의가 명확히 언급이 안되어있잖아요. (제가 잘 모르는 것이겠지만요)
여기서 말씀하신 논의 ‘접한다’ ‘그 지점에서 공통접선을 갖는다’가 가장 일반성을 잃지 않는 것 같습니다. 생각이 정리되는 글이네요.

앞으로도 좋은 글 많이 올려주시면 감사하겠습니다!

웬 학생
4 years ago

증명된 이중접선의 식은 6x-5/4라 적혀있는데, 마지막 그림에는 4x-5/4라 되어있네요..? 그림이 잘못된 것이겠죠?

수능수학 어렵다
4 years ago

사소하긴 하지만 전개식의 성질에서 전개하신 식의 3차항이 잘못된 거 같습니다. 잘보고 있습니다.

원너비1등급
3 years ago

감사합니다 행님 유익하고 재미있네요

ㄹㄹ
3 years ago

사차함수의 삼계도함수가 0이 되는 지점의 도함수 값과 공통접선의 기울기가 일치함을 이용하면 좀 더 쉽게 풀 수 있죠

ㅇㅇ
9 months ago

그런데요 U자 모양이 아닌 일반적인 4차 함수에서 공통접선이 항상 존재함을 어떻게 보일 수 있을까요? 혹시 U자 개형의 함수 이외에선 항상 존재한다는 제 추측이 틀린걸까요??

ㅇㅇ
9 months ago
Reply to  ㅇㅇ

아 알았습니다. 도함수를 통해 도함수(3차)의 변곡을 지나는 y=m인 직선이 만나는 임의의점 a,b가 존재하고 그점에서의 도함수의 함수값이 같고 정적분을 통해 함수값의차가 0이 된다는 사실을 통해 알수 있네요