사차함수의 대칭성 Ⅲ – 이중접선과 넓이의 비율

사차함수 그래프의 이중접선을 \(l_1\), 이중 접선과 평행하고 한 점에서 접하는 직선을 \(l_2\) 라고 할 때, 사차함수의 그래프와 \(l_2\)로 둘러싸인 부분의 넓이와 사차함수의 그래프와 \(l_1\)으로 둘러싸인 부분의 넓이의 비율은 다음과 같습니다.

$$S_1:S_2:S_3=1:\sqrt{2}:1$$

관련 글

준비물

이중접선을 갖는 사차함수의 여러 비율 관계를 살펴보기 위해서는 다음과 같은 사실을 준비해야 합니다.

이중접선 \(y=mx+n\)을 갖는 사차함수 \(f(x)\)의 식

관련 글 : 사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

이중접선 \(l_3\)의 방정식이 $$y=mx+n$$이고, 직선 \(l_3\)와 접하는 두 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(-\alpha\), \(\alpha\)인 사차함수 $$f(x)=x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n$$

\(f(x)\)의 그래프와 한점에서 접하고 이중접선과 평행한 직선 \(l_1\)의 방정식

관련 글 : 사차함수 그래프의 대칭성과 \(1:\sqrt{2}\) 법칙

\(f(x)\)의 그래프와 한점에서 접하고 이중접선과 평행한 직선 \(l_1\)의 방정식은 $$y=mx+n+\alpha^4$$

넓이의 비율 계산

\(S_1\)

직선 \(l_2\)와 사차함수 \(f(x)\)의 차 $$\begin{align}
&(mx+n+\alpha^4)-(x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)\\
&=-x^4+2\alpha^2x^2\\
\end{align}$$ 를 정적분합니다. (적분구간:\(-\sqrt{2}\alpha\to 0\))

$$\begin{align}
S_1&=\int_{-\sqrt{2}\alpha}^0 (mx+n+\alpha^4)-(x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)dx\\
&=\int_{-\sqrt{2}\alpha}^0 -x^4+2\alpha^2x^2 dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3\right]_{-\sqrt{2}\alpha}^0\\
&=0-\left( \frac{4}{5}\sqrt{2}\alpha^5-\frac{4}{3}\sqrt{2}\alpha^5\right)\\
&=\frac{8}{15}\sqrt{2}\alpha^5\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$

\(S_2\)

[사차함수의 그래프와 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이의 고속적분 – 1/30 공식]을 이용합니다. 두 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(\alpha\), \(-\alpha\)이므로 

$$\begin{align}
S2=&\frac{|1|}{30} (\alpha-(-\alpha))^5\\
&=\frac{1}{30}(2\alpha)^5\\
&=\frac{32}{30}\alpha^5\\
&=\frac{16}{15}\alpha^5
\end{align}$$ 또는 직접 사차함수 \(f(x)\)와 이중접선 \(l_1\)의 차 $$\begin{align}
&(x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)-(mx+n)\\
&= x^4-2\alpha^2x^2+\alpha^4
\end{align}$$를 정적분하여 구할 수도 있습니다. (적분구간:\(-\alpha\to \alpha\)) $$\begin{align}
S_2&=\int_{-\alpha}^{\alpha} (x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)-(mx+n)dx\\
&=\int_{-\alpha}^{\alpha} x^4-2\alpha^2x^2+\alpha^4 dx\\
&=2\int_{0}^{\alpha} x^4-2\alpha^2x^2+\alpha^4 dx\\
&=2\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}\alpha^2x^3+\alpha^4x\right]_{0}^{\alpha}\\
&=2\left\{\left( \frac{1}{5}\alpha^5 – \frac{2}{3}\alpha^5+\alpha^5\right)-0\right\}\\
&=\frac{16}{15}\alpha^5\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$

\(S_3\)

직선 \(l_2\)와 사차함수 \(f(x)\)의 차 $$\begin{align}
&(mx+n+\alpha^4)-(x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)\\
&=-x^4+2\alpha^2x^2\\
\end{align}$$를 적분해 줍니다 (적분구간:\(0\to\sqrt{2}\alpha\)). 그런데, 이 식의 그래프는 \(y\)축에 대해서 대칭입니다. 따라서 \(S_3\)는 같은 식을 적분구간:\(-\sqrt{2}\alpha\to 0\)에서 정적분한 \(S_1\)과 같아야  합니다.

또는 직접 정적분을 하여 \(S_3\)를 구하면 $$\begin{align}
S_3&=\int_{0}^{\sqrt{2}\alpha} (mx+n+\alpha^4)-(x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n)dx\\
&=\int_{0}^{\sqrt{2}\alpha} -x^4+2\alpha^2x^2 dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3\right]_{0}^{\sqrt{2}\alpha}\\
&=\left( -\frac{4}{5}\sqrt{2}\alpha^5+\frac{4}{3}\sqrt{2}\alpha^5\right)-0\\
&=\frac{8}{15}\sqrt{2}\alpha^5\tag{3}\label{eq3}
\end{align}$$

\(S_1:S_2:S_3\)

\(\eqref{eq1}\), \(\eqref{eq2}\), \(\eqref{eq3}\)에 의해, $$\begin{align}
S_1:S_2:S_3&=\frac{8}{15}\sqrt{2}\alpha^5:\frac{16}{15}\alpha^5:\frac{8}{15}\sqrt{2}\alpha^5\\
&1:\sqrt{2}:1
\end{align}$$

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조호영
3 years ago

잘 읽었습니다!~. 언제 쓰일까 고민했는데, 이중접선이나 넓이공식은 정말 유용하게 잘 쓰고 있습니다. (5분은 단축하는거 같아요 ㅋㅋㅋ)

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

네~

이건창
3 years ago

사차함수와 일차함수의 관계는 다양한 방면에서 일반적인 관계를 뽑아낼 수 있는 것 같아 보이는데요… 사차함수와 이차함수의 알려진 일반적 관계는 없는 것인가요??

얭섕먱
2 years ago

이런거 언젠가 한번은 노가다 해야겠다고 생각은 하고있었는데 이렇게 전부 해주시니 감사할 따름입니다…. 비율관계만 알아도 몇분은 단축되는게 수2인데 이렇게 많은 케이스를 제공해주시니 좋네요. 글 전부 읽어보고 너무 괜찮은 것 같아서 노트에 필기 놨습니다 ㅋㅋ
시간 남으시면 초월함수 중에도 알려진 정보가 있는 함수가 있는지 알려주시면 감사할 것 같아요! 다시 한번 좋은 글 감사드립니다 (_ _)

그레이스
4 months ago

진짜 감사합니다. 수험생인데 선생님 너무 도움 컸어요