사차함수의 대칭성 Ⅳ - 변곡점을 지나는 직선과 넓이의 비율

사차함수 $f(x)$의 그래프와 사차함수 $f(x)$의 두 변곡점을 지나는 직선으로 둘러싸인 세 부분의 넓이의 비는 다음과 같습니다.

$$S_1:S_2:S_3=1:2:1$$

준비물

이중접선 $y=mx+n$을 갖는 사차함수 $f(x)$의 식

이중접선 $l_3$의 방정식이 $$y=mx+n$$이고, 직선 $l_3$와 접하는 두 접점의 $x$좌표가 각각 $-\alpha$, $\alpha$인 사차함수 $$f(x)=x^4-2\alpha^2x^2+mx+\alpha^4+n$$

사차함수 $f(x)$의 두 변곡점을 지나는 직선의 방정식

사차함수 $f(x)$의 그래프의 두 변곡점을 지나는 직선 $l$의 방정식은 $$y=R(x)=mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4$$

사차함수와 변곡점을 지난 직선 $l$의 교점

사차함수 $f(x)$의 그래프와 직선 $l$의 네 교점 $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$의 좌표는 각각

$$\begin{align}
&\mathrm{H}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{I}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{J}\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, f\left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)\\
&\mathrm{K}\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha,f\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)\right)
\end{align}$$

넓이의 비율계산

$S_1$, $S_2$, $S_3$모두 사차함수 $f(x)$와 직선 $l$로 둘러싸여 있으므로 사차함수 $f(x)$와 직선 $l$의 차 $$\begin{align}
&|f(x)-(mx+n+\frac{4}{9}\alpha^4)|\\
&=|x^4-2\alpha^2x^2+mx+n+\alpha^4-mx-n-\frac{4}{9}\alpha^4|\\
&=|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|\\
\end{align}$$을 정적분하여 구할 수 있습니다.

$S_1$

점 $\mathrm{J}$와 $\mathrm{I}$의 $x$좌표가 각각 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha$, $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha$이고, 구간 $\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha, -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)$에서 직선 $l$은 항상 $f(x)$의 그래프보다 위에 있으므로 $$\begin{align}
S_1&=\int_{\frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{\frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{-\sqrt{3}}\alpha}-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3-\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}^{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$

$S_2$

점 $\mathrm{H}$와 $\mathrm{I}$의 $x$좌표가 각각 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha$, $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha$이고, 구간 $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha\right)$에서 직선 $l$은 사차함수 $f(x)$의 그래프보다 아래에 있으므로 $$\begin{align}
S_2&=\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=2\left[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}\alpha^2x^3+\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{32}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$

$S_3$

점 $\mathrm{I}$와 $\mathrm{K}$의 $x$좌표가 각각 $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha$, $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha$이고, 구간 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\alpha, \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha\right)$에서 직선 $l$이 사차함수 $f(x)$의 그래프보다 위에 있으므로 $$\begin{align}
S_3&=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}|x^4-2\alpha^2x^2+\frac{5}{9}\alpha^4|dx\\
&=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4dx\\
&=\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}\alpha^2x^3-\frac{5}{9}\alpha^4x\right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}\alpha}^{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\alpha}\\
&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\tag{3}\label{eq3}
\end{align}$$ 또는 정적분해야 하는 식 $$-x^4+2\alpha^2x^2-\frac{5}{9}\alpha^4$$의 그래프가 $y$축 대칭이고, $S_3$의 적분구간 역시 $S_1$의 적분구간과 $y$축 대칭이므로 정적분의 계산을 하지 않고도 $S_3=S_1$ 라는 것을 알아낼 수 있습니다.

비율계산

$\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$에 의해, $$\begin{align}
S_1:S_2:S_3&=\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5:\frac{32}{45\sqrt{3}}\alpha^5:\frac{16}{45\sqrt{3}}\alpha^5\\
&=1:2:1\end{align}$$