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이중접선을 갖는 사차함수의 그래프는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 놀랍게도 변곡점을 갖는 모든 사차함수는 이중접선을 갖고 있습니다. 반대로 이중접선을 갖는 사차함수는 변곡점을 갖고 있습니다. 즉, 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) \((a\ne 0)\)의 그래프가 이중접선을 가질 조건은 함수 \(f(x)\)의 그래프가 변곡점을 가질 조건과 같습니다. 즉, 

$$\begin{align}&\text{변곡점을 갖는 사차함수}\\
&\Leftrightarrow\text{이중접선을 갖는 사차함수}\end{align}$$

$$3b^2-8ac>0$$

$$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$

관련 글

• 사차함수와 이중 접선
• 사차다항식의 제곱완성
• 사차함수의 그래프가 변곡점을 가질 조건

증명

[사차함수와 이중접선]과 [사차 다항식의 제곱완성]에서 사용한 방법을 일반화하면 이중접선을 가질 조건을 구할 수 있습니다. 사차함수 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)가 이중접선 \(g(x)=mx+n\)을 갖는다면, 두 식의 차는 사차다항식의 완전제곱식이 되어야 합니다. 즉, 사차함수의 그래프와 이중접선의 접점의 \(x\)좌표가 각각 \(\alpha\), \(\beta\)라고 하면$$\begin{align}
&(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)-(mx+n)\\
&=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2
\end{align}$$입니다. 그런데, $$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)\\
&=ax^4+bx^3+cx^2+(d-m)x+(e-n)\tag{1}\label{eq1}
\end{align}$$이고, $$\begin{align}
&a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\\
&=a(x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)x^2\\
&-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+\alpha^2\beta^2)\tag{2}\label{eq2}
\end{align}$$ 입니다. [사차함수와 이중접선]에서 언급했던 것처럼 이 식의 모든 계수는 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 대칭식으로 이루어져 있습니다. 즉 모든 항의 계수를 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)를 사용하여 나타낼 수 있기 때문에 가장 먼저 신경 써야 할 것은 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)를 구해주는 것입니다.

먼저 \(\eqref{eq1}\)과 \(\eqref{eq2}\)의 계수를 비교하면 다음과 같습니다. $$\begin{array}{c|c}
& \text{식\(\eqref{eq1}\)} &\text{식\(\eqref{eq2}\)} \\\hline
\text{\(x^3\)의 계수} & b &-2a(\alpha+\beta)\\ \hline
\text{\(x^2\)의 계수} & c &\begin{align}
&a(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)\\
&=a((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)
\end{align}\\ \hline
\text{\(x\)의 계수} & d-m & -2a\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ \hline
\text{상수항} & e-n & a\alpha^2\beta^2
\end{array}$$ 이 결과를 살펴보면, \(m\)과 \(n\)은 \(x\)의 계수와 상수항에만 사용된 것을 알 수 있습니다. 따라서 \(x^3\)과 \(x^2\)의 계수를 비교하여 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\)의 값을 얻은 다음, 그 값을 이용하여 \(m\)과 \(n\)의 값을 결정하면 이중접선의 존재조건과 이중접선의 방정식을 구할 수 있습니다.

이중접선의 존재조건

\(x^3\)의 계수를 비교하면 \(\alpha+\beta\)의 값을 결정할 수 있습니다. $$b=-2a(\alpha+\beta)$$이므로 $$\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\tag{3}\label{eq3}$$입니다. 이제 \(x^2\)의 계수를 비교하면 \(\alpha\beta\)의 값을 결정할 수 있습니다. $$\begin{align}
c&=a((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta)\\
&=a\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+2\alpha\beta\right)\\
&=a\left(\frac{b^2}{4a^2}+2\alpha\beta\right)
\end{align}$$ 이므로 $$\begin{align}
\alpha\beta&=\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right)\cdot\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\\
&=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\tag{4}\label{eq4}\\
\end{align}$$ 입니다. 이제 두 수의 합 \(\alpha+\beta\)와 곱 \(\alpha\beta\)를 알게 되었으므로 근과 계수의 관계를 이용하면 두 수 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 근으로 갖는 이차 방정식을 만들 수 있습니다. $$\begin{align}
&\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\\
&\alpha\beta=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}
\end{align}$$이므로 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 근으로 갖는 방정식은
$$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta=0$$ 즉$$t^2+\frac{b}{2a}t-\frac{b^2-4ac}{8a^2}=0$$ 입니다. 이제 이 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 $$\begin{align}
D&=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)\\
&=\frac{b^2}{4a^2}+\frac{b^2-4ac}{2a^2}\\
&=\frac{b^2}{4a^2}+\frac{2b^2-8ac}{4a^2}\\
&=\frac{3b^2-8ac}{4a^2}
\end{align}$$의 값이 \(0\)보다 커야 합니다. 그런데, \(a\ne 0\)이므로 \(4a^2>0\) 입니다. 따라서 $$\begin{align}
&D>0\\
&\Leftrightarrow \frac{3b^2-8ac}{4a^2} >0\\
&\Leftrightarrow 3b^2-8ac>0
\end{align}$$ 그런데 이 조건은 놀랍게도 [사차함수의 그래프가 변곡점을 가질 조건]과 같습니다! 따라서,

$$\text{변곡점을 갖는 사차함수\(\Leftrightarrow\)이중접선을 갖는 사차함수}$$

이중접선의 방정식

이제, \(x\)의 계수와 상수항을 비교하고, \(\eqref{eq3}\)과 \(\eqref{eq4}\)에서 구한  $$\begin{align}
&\alpha+\beta=-\frac{b}{2a}\\
&\alpha\beta=-\frac{b^2-4ac}{8a^2}
\end{align}$$을 대입하면 \(m\)과 \(n\)을 구할 수 있습니다.

먼저 \(x\)의 계수를 비교하면 이중접선의 기울기 \(m\)의 값을 알아낼 수 있습니다. $$d-m=-2a\alpha\beta(\alpha+\beta)$$이므로 $$\begin{align}
m&=d+2a\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=d+2a\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)\left(-\frac{b}{2a}\right)\\
&=d+\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}
\end{align}$$ 이제 상수항을 비교하면 이중접선의 \(y\)절편 \(n\)의 값을 찾을 수 있습니다. $$e-n=a\alpha^2\beta^2$$이므로 $$\begin{align}
n&=e-a\alpha^2\beta^2\\
&=e-a(\alpha\beta)^2\\
&=e-a\left(-\frac{b^2-4ac}{8a^2}\right)^2\\
&=e-\left(\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}\right)
\end{align}$$ 입니다. 따라서 이중접선 \(g(x)\)의 방정식은 $$\begin{align}
g(x)&=mx+n\\
&=\left(d+\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}\right)x+e-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}\\
&=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e
\end{align}$$ 

이중접선의 방정식은 꽤 복잡하기 때문에 실제로 이중접선의 방정식을 구할 때에는 이 결과를 직접 사용하는 것보다는 [사차함수와 이중 접선]에서 사용했던 것처럼 계수 비교를 직접하여 구하는 편이 나아 보입니다.

활용

다음 문제는 [사차함수와 이중접선]에서 설명했던 문제로, 경찰대 2012학년도 입시에 출제되었던 문제입니다. 

문제

곡선 \(f(x)=x^4-3x^2+6x+1\) 위의 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이

$$f(x)=x^4-3x^2+6x+1=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$로 두면, \(a=1\), \(b=0\), \(c=-3\), \(d=6\), \(e=1\)입니다. 이중접선을 가질 조건 $$3b^2-8ac=3\cdot 0^2-8\cdot 1 \cdot (-3) = 24 > 0$$을 만족하므로 이 사차함수의 그래프는 이중접선을 가지고 있습니다. $$y=\left(\frac{b(b^2-4ac)}{8a^2}+d\right)x-\frac{(b^2-4ac)^2}{64a^3}+e$$에 \(a=1\), \(b=0\), \(c=-3\), \(d=6\), \(e=1\)을 대입하면, 이중접선의 방정식은 $$\begin{align}
y&=\left(\frac{0(0^2-4\cdot 1\cdot(-3))}{8\cdot 1^2}+6\right)x-\frac{((0)^2-4\cdot 1 \cdot (-3))^2}{64\cdot 1^3}+1\\
&=6x-\frac{12^2}{64}+1\\
&=6x-\frac{9}{4}+1\\
&=6x-\frac{5}{4}
\end{align}$$