어떤 함수와 도함수의 합이나 차가 지수함수와 곱해져 있는 식을 적분할 때, 다음 식을 이용하면 무척 편하게 부정적분을 구할 수 있는 경우가 있습니다.
$$\begin{align}
&\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C\\
&\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C\\
\end{align}$$
Tag: 고속적분
이차함수위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)위에 있는 세 점 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표가 각각 \(p\),\(q\),\(r\)이라 할 때, (단, \(p<q<r\)) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는
$$\frac{|a|}{2}(p-q)(q-r)(r-p)$$
테이블 적분법의 원리 및 부분적분법의 귀납적 관계
이 글에서는 테이블 적분법의 원리를 설명합니다. 테이블 적분의 원리는 부분적분의 귀납적 관계를 이용한 것입니다.
\(f(x)\)를 n번 미분한 함수를 $$ f^{(n)}(x) : f^{(0)}(x),\ f^{(1)}(x),\ f^{(2)}(x),\ f^{(3)}(x),…,\ f^{(n)}(x),…$$ \(g(x)\)를 n번 부정적분(적분상수=0)한 함수를 $$g^{(-n)}(x) : g^{(0)}(x),\ g^{(-1)}(x),\ g^{(-2)}(x),\ g^{(-3)}(x),…,\ g^{(-n)}(x),…$$라 하면, $$\begin{align}\int f(x)g(x)dx&=f(x)g^{(-1)}(x)-\int f^{(1)}(x)g^{(-1)}(x)dx\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-\left(f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)-\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\right)\\
&=f(x)g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x)g^{(-2)}(x)+\int f^{(2)}(x)g^{(-2)}(x)dx\\
&=…\end{align}$$ 입니다. 혹시 이 등식의 패턴이 보이시나요? (more…)
부분적분을 빠르게 – 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법
이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$
사차 함수와 이중접선으로 둘러싸인 부분의 넓이의 고속적분 – 1/30 공식
4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$
이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다. (more…)
베타함수와 고속적분
실수 부분이 0보다 큰 복소수 p, q에 대하여 베타함수는 다음과 같이 정의된 함수입니다. .
$$\mathrm B(p,q)=\int_0^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$$특히, 음이 아닌 정수 m, n 에 대하여 다음과 같은 적분식이 성립합니다.
[1] 제1종 오일러 함수 $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$[2] \(\alpha=0\) 이고 \(\beta=1\) 일 때, $$\int_0^{1}x^m(1-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$
이 식은 여러 형태의 넓이를 고속적분하는데 사용합니다. 이 글에서는 이 식의 증명과 활용을 소개합니다. (more…)
삼차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 넓이의 고속 적분 -1/12 공식
3차 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접하고, x좌표가 β인 점에서 만날 때, 3차 함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는
$$\begin{equation}\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^3+bx^2+cx+d-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2(x-\beta)\right|dx\\
&=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{aligned}\end{equation}$$
이 글에서는 이 식의 간단한 증명을 소개합니다.