포물선의 초점 \(\mathrm{F}\)부터 준선까지의 거리를 \(l\), 포물선위의 한 점 \(\mathrm{P}\)부터 초점 \(\mathrm{F}\) 까지의 거리 \(\mathrm{\overline{PF}}= r\), 직선 \(\mathrm{PF}\)와 \(x\)축의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\) 라 하면 포물선의 극방정식$$r=\frac{l}{1-\cos\theta}$$
이 글에서는 포물선의 방정식을 극좌표를 사용한 극방정식으로 나타내는 방법과 극방정식을 직각좌표 형식의 방정식으로 바꾸는 방법, 반직현의 개념에 대해 설명합니다. 그리고 포물선의 방정식을 극방정식으로 나타내는 것이 어떠한 장점을 갖는지에 대해 이야기 합니다.
이항분포 \(\mathrm{B}(n,p)\)를 따르는 확률변수 \(X\)의 평균과 분산은 다음과 같습니다.
평균 \(\mathrm{E}(X)=np\)
분산 \(\mathrm{V}(X)=npq,\ q=1-p\)
이 글에서는 이항계수의 흡수 항등식과 소소하지만 확실한 테크닉 1개만을 사용하여 이 결과를 증명해 보겠습니다. (2017학년도 서울시립대 논술 2번) (more…)
이항계수의 흡수 항등식 (absorption identity)는 약방의 감초처럼 이항계수를 사용하는 수식에서 자주 쓰이는 항등식입니다. 이 항등식을 직접 설명하고 있는 교과서는 없지만, 사실 이 항등식은 평가원 기출문제에서 종종 사용될 정도로 중요한 항등식입니다.
자연수 \(r(1\leq r \leq k)\)에 대하여$$_kC_r=\frac{k}{r}\times _{k-1}C_{r-1}$$
이 글에서는 이 항등식을 증명하고, 이 항등식을 활용하는 방법과 과거 평가원 기출문제에서 이 항등식이 어떻게 다루었는지에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)
이차곡선 문제를 풀 때 사용할 수 있는 핵심 전략은 다음과 같습니다.
● 타원의 정의를 이용할 수 있는 보조선 그리기
● 동일한 구조의 식에서 방정식 추론하기 (주어진 식을 보고 사용할 식을 결정)
● 근과 계수의 관계
● 중점 연결 정리(타원, 쌍곡선)
이 글에서는 다음 문제의 풀이를 통해서 이러한 핵심 전략을 문제에서 어떻게 사용할 수 있는지 알아보겠습니다.
두점 \(\mathrm F(5,0)\), \(\mathrm F'(-5,0)\)을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 \(\mathrm P\), \(\mathrm Q\)에 대하여 원점 \(\mathrm O\)에서 선분 \(\mathrm{PF}\)와 선분 \(\mathrm{QF’}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm H\)와 \(\mathrm I\)라 하자. 점 \(\mathrm H\)와 \(\mathrm I\)가 각각 선분 \(\mathrm{PF}\)와 선분 \(\mathrm{QF’}\)의 중점이고, \(\mathrm{\overline{OH}\times\overline{OI}=10}\)일 때, 이 타원의 장축의 길이를 \(l\)이라 하자. \(l^2\)의 값을 구하시오. (단, \(\mathrm{\overline{OH}\neq\overline{OI}}\))
가끔은 아주 어려워 보이는 문제가 단순한 테크닉의 조합만으로 쉽게 풀리는 경우가 있습니다. 2018학년도 수능 나형 30번이 그러한 경우입니다. 이 문제를 풀기 위해서 필요한 것은 [소소하지만 확실한 테크닉] 2개와 (조금 길긴 하지만) 단순한 계산 뿐입니다.
(가) \(0\leq x\lt 1\) 일 때, \(g(x)=f(x)\) 이다.
(나) \(n\leq x \lt n+1\) 일 때, $$g(x)=\frac{1}{2^n}\{f(x-n)-(x-n)\}+x$$이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)
어떤 자연수 \(k(k\geq 6)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)는 $$h(x)=
\begin{cases}
g(x) & \text{($0\leq x \lt 5$ 또는 $x\geq k$)}\\
2x-g(x) & \text{($5\leq x \lt k$)}
\end{cases}$$이다. 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n=\displaystyle\int_0^nh(x)dx\) 라 할 때, $$\lim\limits_{n\to\infty}(2a_n-n^2)=\frac{241}{768}$$이다. \(k\)의 값을 구하시오.
\(t=\tan x\)로 치환하면,
$$\int\frac{1}{1+x^2}dx \to \int dt$$
가 되어 적분하려는 함수가 상수 1이 되어 적분이 아주 간단해 집니다. 이렇게 삼각치환을 하면 적분하려는 함수가 간단해 지는 이유는 무엇일까요? 왜 꼭 굳이 \(t=\tan x\) 로 치환하는 이유는 무엇일까요?이 글에서는 삼각치환의 비밀과 그 뒤에 있는 수학적 배경에 대해 이야기 합니다. (more…)
전설의 수학 문제를 찾아서, 4번째 문제는 공통근 문제입니다. 1971년 동경대 입시 문제로 출제된 이 문제는 공통근에 대한 우리의 고정관념을 멋지게 뒤집는 문제입니다.
실수 \(a,\ b\) 에 대하여, 두 이차방정식 $$x^2+ax+b=0,\ ax^2+bx+1=0$$이 있다.
(1) 두 이차방정식이 실수근 \(\lambda\)를 공통으로 가질 때 \(\lambda\)의 값과 \(a+b\)의 값을 구하시오.
(2) 두 이차방정식이 허근을 공통근으로 가질 때 \(a,\ b\)의 값을 구하시오.
이 문제에는 어떠한 함정이 숨겨져 있을까요? 이 함정을 해결할 수 있는 방법은 무엇일까요? 그리고 이 문제의 배경에는 어떠한 수학적 원리가 숨어있을까요? (more…)