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4차 함수 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 의 그래프가 직선 \(y=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}|ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(mx+n)|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx\\
&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$

이 글에서는 이 식의 증명을 소개합니다.

증명

4차 함수와 이중접선의 성질을 이용합니다. →4차함수와 이중접선의 성질

4차 함수 $$y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$의 그래프가  직선 \(y=g(x)=mx+n\)의 그래프와 x좌표가 각각 α, β (단, β > α) 인 두 점에서 이중으로 접할 때 $$f(x)-g(x)=a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$$ 이 됩니다. 한 편, 구간 \((\alpha, \beta)\) 에서 식 $$a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$$은 항상 0보다 크거나 작은 값을 가지므로, 4차 함수의 그래프와 이중 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta}|a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2|dx&=|a|\int_{\alpha}^{\beta}|(x-\alpha)^2)(x-\beta)^2|\\&=|a|\left|\int_{\alpha}^{\beta}|(x-\alpha)^2)(x-\beta)^2\right|dx\end{align}$$ 그런데, 적분 $$\int_{\alpha}^{\beta}|(x-\alpha)^2)(x-\beta)^2dx=\int_{\alpha}^{\beta}|(x-\alpha)^2)(\beta-x)^2dx$$ 이고, 이것은 베타 함수에 대한 적분식을 사용하는 것으로 쉽게 증명할 수 있습니다.→ 베타함수와 고속적분

음이 아닌 정수 m, n에 대하여, $$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$

\(m=n=2\) 를 이 식에 대입하면, $$\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(\beta-x)^2dx&=\frac{2!2!}{(2+2+1)!}(\beta-\alpha)^5\\&=\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$ 을 얻을 수 있습니다. 따라서 $$\begin{align}|a|\left|\int_{\alpha}^{\beta}|(x-\alpha)^2)(x-\beta)^2\right|dx&=\frac{|a|}{30}\left|(\beta-\alpha)^5\right|\\&=\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{align}$$