godingMath

다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지는 특별한 의미를 갖고 있습니다. 특히, 삼차함수 \(f(x)\)를 그 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 할 때, 즉, $$f(x)=f'(x)Q(x)+R(x)$$이면, 

3차함수 \(f(x)\)의 두 극점을 연결한  직선의 방정식은 $$y=R(x)$$

증명

삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)는 이차식이므로 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 몫 \(Q(x)\)는 일차식, 나머지 \(R(x)\)는 일차이하의 다항식입니다. 따라서 $$R(x)=ax+b$$로 두겠습니다.

한편, 삼차함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값의 좌표를 각각 $$(\alpha, f(\alpha)), (\beta, f(\beta))$$라 하면, (\(\alpha\ne\beta\) 이고 \(f(\alpha)\ne f(\beta)\) 입니다.)$$f'(\alpha)=f'(\beta)=0$$이 됩니다. $$\begin{align}f(x)&=f'(x)Q(x)+R(x)\\&=f'(x)Q(x)+ax+b\end{align}$$ 이 식에 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)를 각각 대입하면, $$\begin{align}
f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha+b=a\alpha+b\tag{1}\label{eq1}\\
f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta+b=a\beta+b\tag{2}\label{eq2}\\
\end{align}$$ \(\eqref{eq1}-\eqref{eq2}\)를 계산하면 $$f(\alpha)-f(\beta)=a(\alpha-\beta)$$이고, \(f(\alpha)\ne f(\beta)\), \(\alpha\ne \beta\)이므로 $$a\ne 0$$입니다. 따라서 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눈 몫 $$R(x)=ax+b,\ a\ne 0$$는 일차식이 되어 다음 방정식 $$y=R(x)=ax+b\tag{3}\label{eq3}$$는 기울기가 0이 아닌 직선을 나타내는 직선의 방정식이 됩니다.

이제 식\(\eqref{eq1}\)과 식\(\eqref{eq2}\)를 다시 한번 살펴보겠습니다. 식\(\eqref{eq1}\)과 식\(\eqref{eq2}\)를 보면, $$\begin{cases}
\color{red}{f(\alpha)}=a\color{green}{\alpha}+b\\
\color{red}{f(\beta)}=a\color{green}{\beta}+b\end{cases}$$ 입니다. 이 두 식은 각각 두 점 $$\begin{align}(\color{green}{\alpha}, \color{red}{f(\alpha)})\\
(\color{green}{\beta}, \color{red}{f(\beta)})\end{align}$$을 직선의 방정식 $$\color{red}y=a\color{green}x+b$$에 대입한 것으로 해석할 수 있습니다. 따라서 이 두 점 모두 직선의 방정식 \(\eqref{eq3}\) 의 해가 되기 때문에, 직선 \(\eqref{eq3}\)은 두 점 모두를 지나게 됩니다. 두 점을 지나는 직선은 유일하게 결정이 되므로, 삼차함수의 두 극점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=R(x)$$입니다.

예제

\(f(x)=x^3-3x\)

삼차함수 $$f(x)=x^3-3x$$의 도함수 $$f'(x)=3x^2-3$$입니다. \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나누어 몫 \(Q(x)\)와 나머지 \(R(x)\)를 구하면 $$f(x)=(3x^2-3)\left(\frac{1}{3}x\right)-2x$$입니다. 나머지 $$R(x)=-2x$$이므로 두 극점을 지나는 직선의 방정식은 $$y=-2x$$ 입니다.