사차함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식

4차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, 사차 함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)$$

이 글에서는 이 방법의 장점과 원리를 설명합니다.

이 방법을 사용하면 세 극점의 좌표를 구하고 이 좌표를 각각 포물선의 방정식에 대입하여 미정계수를 구하는 과정을 거치지 않아도 되므로 무척 빠른 시간내에 포물선의 방정식을 구할 수 있습니다. 

증명

사차함수의 세 극점을 지나는 포물선은 삼차함수의 두 극점을 지나는 직선의 방정식을  구하는 것과 같은 방법을 사용합니다. 먼저 사차함수의 세 극점의 좌표를 $$\begin{align}&(\alpha, f(\alpha))\\&(\beta, f(\beta))\\&(\gamma, f(\gamma)\end{align}$$라 합니다.

\(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)로 나눈 몫과 나머지를 각각 \(Q(x)\), \(R(x)\)라 하면, \(Q(x)\)는 일차식, \(R(x)\)는 이차이하의 다항식입니다. 즉 $$\begin{align}f(x)&=f'(x)Q(x)+R(x)\\
=&f'(x)Q(x)+ax^2+bx+c\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$입니다. 이제 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)를 식 \(\eqref{eq1}\)에 대입하면 $$f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0$$이므로 $$\begin{align}
f(\alpha)&=f'(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha^2+b\alpha+c=a\alpha^2+b\alpha+c\tag{2}\label{eq2}\\
f(\beta)&=f'(\beta)Q(\beta)+a\beta^2+b\beta+c=a\beta^2+b\beta+c\tag{3}\label{eq3}\\
f(\gamma)&=f'(\gamma)Q(\gamma)+a\gamma^2+b\gamma+c=a\gamma^2+b\gamma+c\tag{4}\label{eq4}
\end{align}$$입니다. 이 3개의 식은 세 점 $$\begin{align}&(\alpha, f(\alpha))\\&(\beta, f(\beta))\\&(\gamma, f(\gamma)\end{align}$$의 좌표를 각각 방정식 $$y=ax^2+bx+c$$에 대입한 것으로 해석할 수 있습니다. 만약 \(a=0\)이라면, 세 점은 한 직선 위에 있어야 합니다. 그런데 사차함수의  세 극점은 한 직선위에 있을 수 없기 때문에 때문에 \(a\ne 0\)입니다. 즉 $$y=R(x)=ax^2+bx+c$$는 사차함수의 세 극점을 지나는 포물선의 방정식입니다.

예제

\(f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2\)

\(f(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수 $$f'(x)=x^3-4x^2+3x$$로 나눈 몫 \(Q(x)\)와 나머지 \(R(x)\)는 각각 $$\begin{align}Q(x)&=\frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\\
R(x)&=-\frac{7}{12}x^2+x\end{align}$$입니다. $$\begin{align}f'(x)&=x^3-4x^2+3x\\&=x(x-1)(x-3)\end{align}$$이므로 사차함수 \(f(x)\)는 세 개의 극점 $$\begin{align}(0, f(0))&=(0,0)\\(1,f(1))&=\left(1, \frac{5}{12}\right)\\(3,f(3))&=\left(3,-\frac{9}{4}\right)\end{align}$$을 가지고 있으므로 이 세 점을 지나는 포물선의 방정식은 $$y=R(x)=-\frac{7}{12}x^2+x$$입니다.(실제 세 극점의 좌표를 포물선의 방정식에 대입해 보면 잘 성립하는 것을 알 수 있습니다.)

 

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조호영
4 years ago

잘 읽었습니다. 라그랑주 보간다항식을 이용한 개념이라고 볼수도 있겠네요.

조호영
3 years ago

혹시 이 내용들을 참고한 논문이나 책을 알 수 있을까요?

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

졸업논문 작성을 위해 참고자료로 넣어야 할거 같아서요..

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

아아 넵! 감사합니다.

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

이 내용을 영어로 검색한다면, 어떻게 검색해야 하나요?
(아무리 찾아봐도 나오지를 않아서요..ㅠ)

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

아쉽게도, 학교졸업논문 양식 샘플에 웹사이트가 없어서요..

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

음… 그 말씀은 혹시 저 정리가 논문거리가 되지 못하는걸까요? ㅠㅠ

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

역함수는… 증명이 한 2줄? 짜리라 쉬운 구술면접 문제정도 난이도인거 같습니다.

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

저는 이거를 일반화된 다항함수의 일반화된 미분으로 확장하였습니다. 증명이 2페이지인데, 라그랑주보간다항식으로 진짜 그런지 확인해서 보이는거까지 해도 논문이 7~8페이지밖에 안될거 같아
선생님이 분량 걱정을 하시네요..ㅠㅠ

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

테일러전개를 말씀하시는 것인가요?
혹시 조금 더 자세히 말씀해주실 수 있으세요?

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

오오 감사합니다. power series를 이용해서 polynominal을 만들면 되겠네요. 오 정말 괜찮은 생각이 떠올랐습니다. 추후 완성되면 메일로 보내드리도록 하겠습니다.

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

접근을 하다 보니까 power series의 적당항에서 근사를 해야할거 같은데, 이거가 조금 문제네요. 차수를 건드리는 거다보니까 어디까지 해야할지가 main인데… 혹시 power series에서 동일한 의미(?) 정도(?)를 갖는 항이 있을까요..? 해석학 책을 아무리 찾아봐도 잘 나오지 않네요.

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

그 말씀은 즉, O(x^7)은 0으로 근사하여 계산한 것인가요?

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

long division을 하려고 했는데, 몇차까지 하냐에 따라 다르더라고요…
음.. 그렇다면 초월함수의 ‘근사’다항식으로 접근할 수 있을 것 같기도 하네요…

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

보간함수를 잡는 새로운 방식을 이전에 말씀드린 거를 응용해서 수학적으로 증명은 했습니다…
수치해석 프로그램을 돌려서 확인해야 할거 같은데, matlab이 제일 낫겠죠?

조호영
3 years ago
Reply to  조호영

그때 증명한것은 아래 명제입니다.
1-1 연속함수 f,f=f^(-1)인 f에 대해
i) f가 증가함수일때, y=x와의 교점이 존재하면, 교점에서 미분계수는 1
ii) f가 감소함수일때, y=x와의 교점이 존재하면, 교점에서 미분계수는 -1