부등식을 만족하는 “어떤 값이 존재한다”라는 조건을 가진 문제는 다음과 같이 최솟값이나 최댓값에 관한 조건을 가진 문제로 바꾸어 풀 수 있습니다. 구체적으로, 다음과 같은 변형이 가능합니다.
\(f(x)\leq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최솟값\(\leq a\) 이다.
\(f(x)\geq a\) 인 어떤 \(x\) 의 값이 존재한다\(\iff f(x)\)의 최댓값\(\geq a\) 이다.
이렇게 조건을 변형하는 것은 수학 논리에서 매우 중요한 개념 중 하나이기 때문에 이 개념을 이용해서 만들어진 고난도의 문제들이 종종 출제됩니다. 이 글에서는 이러한 변형의 배경과 원리를 알아보고 이를 이용해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
불변성이란 일반적으로,
조작이나, 반복이 계속될 때에도 바뀌지 않는 특수한 상황
을 뜻합니다. 불변성이라는 단어는 조금 생소하게 들릴수도 있지만 사실은 일상 생활에서도 자주 쓰이는 수학적 개념입니다. 등차 수열에서 인접한 두 항의 차이가 항상 일정(공차)하거나 수열의 귀납적 관계(점화식)관계 등이 바로 불변성을 사용하는 좋은 예입니다. 이 글에서는 2009학년도 3월 모의고사 가형 21번을 통해 불변성에 대해 이야기 해보겠습니다.
도형과 관계된 삼각함수의 극한 문제를 풀 때, 몇 가지 사실을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고 문제의 답을 쉽게 구할 수 있는 경우가 있습니다. 2019학년도 9월 모의고사 가형 19번이 바로 이러한 문제입니다. 부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때, $$\text{현의 길이$\approx$호의 길이}$$라는 사실을 이용하면 문제의 답을 간단히 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이러한 사실을 이용하여 어떻게 극한값을 간단히 구할 수 있을지 알아보겠습니다.
2019학년도 9월 모의고사 수학 영역(가형) 29번의 자세한 풀이입니다. 이 문제와 풀이를 통해 “주어진 조건을 보고 사용할 식을 결정한다”는 문제 풀이 전략에 대해 이야기 해보겠습니다. (more…)