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포물선과 직선으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 빠르게 구할 수 있는 고속 적분 공식을 설명합니다.

포물선인 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)의 그래프가 직선 \(y=mx+n\) 의 그래프와 x좌표가 α인 점에서 접할 때, 포물선과 접선, 직선 x=β 로 둘러 싸인 부분의 넓이는 $$\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$$ 입니다. 예를 들어, \(\alpha<\beta\)일 때,  구하려는 부분의 넓이는$$\begin{align}&\int_{\alpha}^{\beta}\left|(ax^2+bx+c-(mx+n))\right|dx\\&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3\end{align}$$입니다.

증명

두 다항식의 그래프가 접할 때의 성질(클릭)을 이용하여 이 식을 증명합니다.

 다항함수 \(y=f(x)\) 와 \(y=g(x)\) 가 \(x=t\) 에서 접할 때  두 식을 빼서 만든 방정식 $$f(x)-g(x)=0$$은 중근 \(x=t\) 를 가진다.

이차함수 $$y=f(x)=ax^2+bx+c$$가 직선 $$y=g(x)=mx+n$$ 와 점 \((\alpha, f(\alpha))\) 에서 접한다면, $$f(x)-g(x)=ax^2+bx+c-(mx+n)=a(x-\alpha)^2$$ 이 됩니다.

\(\alpha<\beta\) 일 때

이차함수의 그래프와 접선, 직선 \(x=\beta\) 로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}
&\int_{\alpha}^{\beta}\left|ax^2+bx+c-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\alpha}^{\beta}\left|a(x-\alpha)^2\right|dx\\
&=|a|\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2dx\\
&=|a|\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3\right]_{\alpha}^{\beta}\\
&=\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3\\
&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3
\end{align}$$

\(\alpha>\beta\) 일 때

\(\alpha<\beta\) 일 때와 마찬가지로, 이차함수의 그래프와 접선, 직선 \(x=\beta\) 로 둘러싸인 부분의 넓이는 $$\begin{align}
&\int_{\beta}^{\alpha}\left|ax^2+bx+c-(mx+n)\right|dx\\
&=\int_{\beta}^{\alpha}\left|a(x-\alpha)^2\right|dx\\
&=|a|\int_{\beta}^{\alpha}(x-\alpha)^2dx\\
&=|a|\left[\frac{1}{3}(x-\alpha)^3\right]_{\beta}^{\alpha}\\
&=-\frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3\\
&=\frac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3
\end{align}$$