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이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는  $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.

이차함수 $$y=f(x)=ax^2+bx+c$$의 사로 다른 두 접점의 좌표를 각각 \((\alpha\, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\) 라고 두겠습니다. $$f'(x)=2ax+b$$ 이므로 두 접선 \(l_1\), \(l_2\) 의 방정식은 각각 $$\begin{align}&l_1:y-(a\alpha^2+b\alpha+c)=(2a\alpha+b)(x-\alpha)\tag 1\\
&l_2:y-(a\beta^2+b\beta+c)=(2a\beta+b)(x-\beta)\tag{2}
\end{align}$$이 됩니다. 식(1)에서 식(2)를 빼면 다음 식을 얻을 수 있습니다. $$\require{cancel}-a(\alpha^2-\beta^2)\cancel{-b(\alpha-\beta)}=2a(\alpha-\beta)x-2a(\alpha^2-\beta^2)\cancel{-b(\alpha-\beta)}$$
$$\cancel{a}(\alpha^2-\beta^2)=2\cancel{a}(\alpha-\beta)x$$ \(\alpha\ne\beta\) 이므로 이 식의 양변을 \(\alpha-\beta\) 로 나누면,$${\alpha+\beta}=2x$$$$\therefore x=\frac{\alpha+\beta}{2}$$이 됩니다. 교점의 x좌표 \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) 를 식(1)이나 식(2)에 대입하면 교점의 y좌표를 구할 수 있습니다. 여기서는 식(1)에 대입해 보겠습니다. $$y-(a\alpha^2+b\alpha+c)=(2a\alpha+b)\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)$$가 됩니다. 이 식을 y 에 대해서 정리하면, $$\begin{align}y&=(2a\alpha+b)\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)+a\alpha^2+b\alpha+c\\&=a\alpha(\beta-\alpha)+\frac{b(\beta-\alpha)}{2}+a\alpha^2+b\alpha+c\\&=a\alpha\beta\cancel{-a\alpha^2}+b\left(\frac{\beta-\alpha}{2}+\alpha\right)+\cancel{a\alpha^2}+c\\
&=a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\end{align}$$

따라서 교점의 좌표는$$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 가 됩니다.