3원 3차 다항식의 인수분해와 응용

3개의 문자를 사용한 3차 다항식 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 $ x^3+y^3+z^3-3xyz$ 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다.

인수분해 패턴 1

먼저 가장 기본적인 식 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ 의 인수분해를 살펴 보겠습니다.

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$$$=\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}$$

이 인수분해를 사용하는 문제들은 보통 다음 문제와 같이 $x,y,z$ 중 한 개의 값을 숫자로 바꾸어서 이 식을 사용해야 한다는 것을 알아차리지 못하게 하는 경우가 많습니다.

[문제1]

다음 식을 인수 분해 하시오.

$$x^3+y^3+8-6xy$$

풀이

$x^3+y^3+z^3-3xyz$ 에 $z=2$ 를 대입하여 정리하면 $$x^3+y^3+2^3-3xy(2)=x^3+y^3+8-6xy$$ 가 되어 [문제1]의 식과 같아집니다. 따라서 다음처럼 인수분해를 할 수 있습니다. $$x^3+y^3+2^3-3xy(2)=(x+y+2)(x^2+y^2+2^2-xy-2x-2y)$$

$$=(x+y+2)(x^2+y^2+4-xy-2x-2y)$$

이 인수분해 식은 다음과 같이 변형을 해서 사용하기 도 합니다.

인수분해 패턴 1의 변형

$$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$$$$=\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}+3xyz$$

이 식의 인수분해는 많이 익숙한 분들이 많을 것입니다. 그렇다면 다음 식의 인수분해는 어떻습니까? 다음 식 역시 3개의 문자를 사용한 3차 대칭식의 인수분해 입니다. 이 식의 인수분해는 [패턴1]과 그 변형 모두를 이용합니다.

인수분해 패턴 2

$$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$$

이 식의 인수분해 과정을 구체적으로 나타내면 다음과 같습니다.

$$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)$$$$=(x+y+z)^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz$$$$=(x+y+z)\{(x+y+z)^2-x^2-y^z-z^2+xy+yz+zx\}-3xyz$$$$=(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)-3xyz$$$$=3\{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\}$$$$=3(x^2y+x^2z+xy^2+2xyz+xz^2+y^2+yz^2)$$$$=3\{(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)\}$$$$=3(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz)\}=3(y+z)(x+y)(x+z)$$$$=3(x+y)(y+z)(z+x)$$

다음 문제는 이 패턴을 사용해서 만든 문제입니다.

[문제2]

실수 $x,y,z$에 대해, 두 함수 $f(x,y,z), g(x,y,z)$를 다음과 같이 정의한다. $$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz$$$$g(x,y,z)=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)$$

실수 $a,b,c$에 대해 $$f(a+b-c, b+c-a, c+a-b)=4$$$$g(a+b-c, b+c-a, c+a-b)=48$$ 일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오.

[풀이]

다음과 같은 순서로 문제를 풀 수 있습니다.

$f(x,y,z)$과 $g(x,y,z)$ 를 인수분해 합니다.
$x=a+b-c, y=b+c-a, z=c+a-b$ 로 치환을 합니다.
이 치환을 $f(x,y,z)$과 $g(x,y,z)$ 의 인수분해식에 대입합니다.

먼저 $f(x,y,z)$는 [패턴1]을 사용하여 인수분해 합니다.

$$f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$$$=\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}$$그런데, $$x+y+z=(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)=a+b+c$$이고, $$x-y=(a+b-c)-(b+c-a)=2(a-c)$$$$y-z=(b+c-a)-(c+a-b)=2(b-a)$$$$z-x=(c+a-b)-(a+b-c)=2(c-b)$$이므로 이 것을 $f(x,y,z)$에 대입하면 $$f(x,y,z)=\frac{1}{2}(a+b+c)\{4(a-c)^2+4(b-a)^2+4(c-b)^2\}$$$$=2(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}=4$$$$\therefore (a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}=2$$

그리고 $g(x,y,z)$는 [패턴2]를 사용하여 인수분해 합니다.$$g(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)$$그런데, $$x=a+b-c, y=b+c-a, z=c+a-b$$ 로 치환을 했기 때문에

$$x+y=2b, y+z=2c, z+x=2a$$ 가 됩니다. 이 결과를 $g(x,y,z)$에 대입하면 $$g(x,y,z)=3(2b)(2c)(2a)=24abc=48$$$$\therefore abc=2$$가 됩니다. 따라서 $$a^3+b^3+c^3=\frac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}+3abc$$$$=\frac{1}{2}\times2+3\times2=7$$