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어떤 함수와 도함수의 합이나 차가 지수함수와 곱해져 있는 식을 적분할 때, 다음 식을 이용하면 무척 편하게 부정적분을 구할 수 있는 경우가 있습니다.

$$\begin{align} &\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C\\ &\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C\\ \end{align}$$

증명

이 식의 증명은 무척 간단합니다. $f(x)e^x$와 $f(x)e^{-x}$의 도함수를 구해보는 것으로 각각의 식을 간단하게 증명할 수 있습니다.

$\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C$

곱의 미분법을 이용하면,
$$\begin{align} &\frac{d}{dx}f(x)e^x\\ &=(f(x))’e^x+f(x)(e^x)’\\ &=f'(x)e^x+f(x)e^x\\ \end{align}$$ 입니다.  따라서, $$\int (f(x)+f'(x))e^x dx=f(x)e^x+C$$

$\int (f(x)-f'(x))e^{-x} dx =-f(x)e^{-x}+C$

예

[문제1]

$$\int \left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)e^x dx$$ 를 구하시오.

[풀이]

피적분 함수를 언뜻 보면, 분수함수와 지수함수의 곱으로 이루어져 있기 때문에 부정적분의 계산이 무척 복잡할 것 같습니다. 하지만 $$\frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$$ 이고, $$\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{x^2}$$ 이라는 사실을 이용하면, $$\begin{align} &\left(\frac{x-1}{x^2}\right)e^x\\ &\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)e^x\\ &=\left(\frac{1}{x}+\color{red}{\left(\frac{1}{x}\right)’}\right)e^x\\ \end{align}$$ 입니다. 따라서  $$\int \left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)e^x dx=\frac{1}{x}e^x+C$$

[문제2]

$$\int (\sin x -\cos x)e^{-x} dx$$ 를 구하시오.

[풀이]

$\cos x=(\sin x)’$이므로,  $$\begin{align} &(\sin x – \cos x)e^{-x}\\ &=(\sin x – \color{red}{(\sin x)’})e^{-x}\\ \end{align}$$ 입니다. 따라서 $$\int (\sin x -\cos x)e^{-x} dx=(-\sin x)e^{-x}+C$$