점과 직선사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
점\(\mathrm{P}(x_0,y_0)\)부터 직선 \(l\):\(ax+by+c=0\)까지의 거리$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 교과 과정에서 배우는 것이지만 중학교 교과 과정에서 배우는 기본적인 도구만을 사용하여 이 공식을 증명할 수 있습니다. 이 글에서는 중학교 교과 과정의 수학만을 사용하여 점과 직선사이의 거리 공식을 증명합니다.
이차함수 \(y=ax^2+bx+c\) 의 두 접점 \((\alpha, f(\alpha)\), \((\beta, f(\beta))\) 에서 그은 두 접선이 만나는 점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, a\alpha\beta+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c\right)$$ 이다. 특히 이 교점의 x좌표는 a와 관계없이 두 접점을 연결한 선분의 중점이 갖는 x좌표와 같다.
이차다항식의 제곱완성이란 이차다항식 \(ax^2+bx+c\)를 다음과 같이 $$ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$$ 완전제곱식 \((x-p)^2\)을 사용하여 식의 모양을 바꾸어주는 것을 말합니다. 바꾸어 주는 것을 을 제곱완성이라고 합니다. 마찬가지로, \(a>0\)인 사차식 \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+dx+e\)를 다음과 같이 이차식의 완전제곱식 \((\sqrt{a}x^2+px+q)^2\)을 이용하여 식의 모양을 바꾸는 것을 사차다항식의 제곱완성이라고 합니다.
$$\begin{align}
&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\
&=(\sqrt{a}x^2+px+q)^2+mx+n\end{align}$$
시그모이드 함수(sigmoid function)는 인공지능 분야중 하나인 딥러닝(심층학습)의 출력값을 결정하기 위해 사용하는 함수입니다. 시그모이드 함수의 정의는$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}$$이고 그래프가 S자 모양의 곡선으로 나타나는 함수입니다. 이 글에서는 시그모이드 함수의 용도와 중요성을 간단히 소개하고, 그 특징을 알아보겠습니다. (시그모이드 함수는 실제로 2018학년도 수능과 2017학년도 6월 모의고사에서 출제되었습니다.)
중복 순열의 계산은 어려운 것이 아니지만, 중복 순열을 사용해 경우의 수를 세다 보면 \(n\)과 \(r\)을 어떻게 정해야 하는지, \(a^b\)과 \(b^a\) 중 어떤 것이 올바른 것인지 종종 헷갈릴 때가 있습니다. 이 글에서는 중복 순열을 사용할 때 헷갈릴 수 있는 부분과 그 이유를 살펴보고 중복 순열을 바르게 사용하는 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.
3개의 문자를 사용한 3차 다항식 \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 \( x^3+y^3+z^3-3xyz\) 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다. (more…)
이 글에서는 산술 기하 평균 부등식을 의미를 살펴보고, 산술 기하 평균 부등식을 올바르게 사용하는 방법에 대해 알아봅니다. (more…)