3변수 교대식은 3개의 문자중에서 어떤 2문자를 바꾸어 대입하여 계산하더라도 원래의 식과 그 부호가 반대로 되는 식입니다. 즉 3문자 교대식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족합니다. $$\begin{align}f(x,y,z)&=-f(y,x,z)\\&=-f(x,z,y)\\&=-f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 교대식의 인수분해는 다음과 같은 교대식의 중요한 성질을 이용합니다.
3변수 교대식$$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 인수분해가 되고, 이때 \(g(x,y,z)\)는 대칭식이 된다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 교대식의 성질을 이용한 인수분해 문제를 예를 들어 설명하겠습니다.e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.
3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면, 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
이 글에서는 삼각함수×지수함수의 테이블 적분법에 대해 설명합니다. 예를 들어, $$\int \sin x\cdot e^x dx$$의 테이블 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
\sin x&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
\cos x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
-\sin x&\bbox[yellow]{\rightarrow{+}}&e^x\\
\end{array}$$$$\int \sin x\cdot e^xdx=+(\sin x\cdot e^x)-(\cos x\cdot e^x)+\bbox[yellow]{\int(-\sin x)\cdot e^x dx}$$
도표적분법 또는 표적분법이라고도 알려져 있는 테이블 적분법(tabular integration by parts)은 부분적분법을 빠르게 계산할 수 있는 방법입니다. 예를 들어 \(x^2\cdot e^x\) 의 부정적분 $$\int x^2\cdot e^x dx$$는 다음과 같은 표를 만들어 빠르게 계산할 수 있습니다.
$$\begin{array}{ccc} D && I\\
\hline
x^2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}&{}\\
2x&{}&e^x\\
{}&\searrow{-}&{}\\
2&{}&e^x\\
{}&\searrow{+}{}\\
0&{}&e^x\end{array}$$
$$\int x^2e^xdx=+(x^2\cdot e^x)-(2x\cdot e^x)+(2\cdot e^x) +C$$ 테이블 적분법은 크게 2가지로 나눌 수 있는데 이 글에서는 첫번째로 다항함수×지수함수나 다항함수×삼각함수 모양을 가진 함수의 테이블 적분법을 예를 들어 설명합니다.
미적분 문제에서 등식의 양변을 미분하면 새로운 조건을 찾을 수 있을 때가 많습니다. 하지만 등식의 양변을 같이 적분하는 것도 새로운 조건을 찾을 수 있는 방법입니다. 양변을 미분하는 것보다 많이 쓰이지는 않지만 종종 이러한 테크닉을 사용하는 문제들이 있습니다.
$$f(x)=g(x)\implies\int f(x)dx=\int g(x)dx$$
이 글에서는 이 테크닉의 원리를 설명하고 이 테크닉을 활용해 \(e^x\sin{x}\) 와 \(e^x\cos{x}\) 의 부정적분을 간단히 구하는 법을 설명하겠습니다.
$$\begin{align}
\int{e^x\sin{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}-e^x\cos{x}\right)+C\\
\int{e^x\cos{x}}dx&=\frac{1}{2}\left(e^x\sin{x}+e^x\cos{x}\right)+C\end{align}$$ (more…)
\(\frac{0}{0}\) 형태를 가진 삼각함수의 극한은 다음과 같은 근사를 사용하여 간단하면서도 빠르게 그 값을 계산할 수 있습니다.
\(x\rightarrow 0\) 일 때, $$\begin{aligned}\sin{x}&\approx x\\\tan{x}&\approx x\\1-\cos{x}&\approx \frac{x^2}{2}\end{aligned}$$
이 글에서는 삼각함수의 근사를 이용해 삼각함수의 극한을 계산하는 법과 주의할 점에 대해서 알아보겠습니다.도형과 관계된 삼각함수의 극한 문제를 풀 때, 몇 가지 사실을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고 문제의 답을 쉽게 구할 수 있는 경우가 있습니다. 2019학년도 9월 모의고사 가형 19번이 바로 이러한 문제입니다. 부채꼴의 중심각의 크기가 0으로 수렴할 때, $$\text{현의 길이$\approx$호의 길이}$$라는 사실을 이용하면 문제의 답을 간단히 구할 수 있습니다. 이 글에서는 이러한 사실을 이용하여 어떻게 극한값을 간단히 구할 수 있을지 알아보겠습니다.