이 글에서는 항등식의 기술이 문제에서 어떻게 사용되는지를 살펴보고자 합니다. 이 문제는 항등식의 기술이 문제가 요구하는 모순을 어떻게 이끌어 낼 수 있는지를 잘 보여주는 문제입니다.
서로의 차가 \(2\)이상인 네 정수 $$p>q>r>s$$가 주어질 때 다음 조건 (가), (나)를 모두 만족하는 계수가 정수인 3차 다항식 \(f(x)\)가 존재할 수 없음을 보이시오. $$\begin{align}
&A=f(p)-f(q), B=f(q)-f(r)\\
&C=f(r)-f(s), D=f(s)-f(p)\\
\end{align}$$라 하면, $$\begin{align}
&\text{(가) } ABCD<0\\
&\text{(나) } |A|,|B|,|C|,|D|\text{ 는 모두 소수}
\end{align}$$
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$라고 할 때,
서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,…,p_{n+1}\)에 대해, $$\begin{align}
&f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\\
&\Leftrightarrow f(x)=0 \text{이 }x\text{에 대한 항등식}\end{align}$$
대칭식과 교대식은 다음과 같은 관계를 가지고 있습니다.
(1) 대칭식×대칭식=대칭식
(2) 교대식×대칭식=교대식
(3) 교대식×교대식=대칭식
이 글에서는 이 관계를 증명하고, 이 사실을 이용한 인수분해에 대해서 이야기합니다.
3변수 교대식은 3개의 문자중에서 어떤 2문자를 바꾸어 대입하여 계산하더라도 원래의 식과 그 부호가 반대로 되는 식입니다. 즉 3문자 교대식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족합니다. $$\begin{align}f(x,y,z)&=-f(y,x,z)\\&=-f(x,z,y)\\&=-f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 교대식의 인수분해는 다음과 같은 교대식의 중요한 성질을 이용합니다.
3변수 교대식$$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 인수분해가 되고, 이때 \(g(x,y,z)\)는 대칭식이 된다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 교대식의 성질을 이용한 인수분해 문제를 예를 들어 설명하겠습니다.e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.
3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면, 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
$$f(x,y)=f(y,x)$$ 와 같이 두 변수 \(x\) 와 \(y\)를 서로 교환해도 식의 값이 변하지 않는 식을 대칭식이라고 합니다. \(x^n+y^n\)은 대표적인 2변수 대칭식 중 하나로, 그 값을 구하는 문제가 자주 출제 됩니다. 이 식의 값은 다음과 같은 귀납적 관계(점화식)을 이용하면 그 값을 고속으로 계산할 수 있습니다.
$$x^{n+2}+y^{n+2}=(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n), n\ge 1\qquad(1)$$
이 글에서는 이 점화식을 사용한 \(x^n+y^n\)의 계산법과 그 응용을 설명합니다. (more…)
3개의 문자를 사용한 3차 다항식 \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 \( x^3+y^3+z^3-3xyz\) 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다. (more…)