중학교 수학만으로 증명하는 점-직선사이의 거리

점과 직선사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

점$\mathrm{P}(x_0,y_0)$부터 직선 $l$:$ax+by+c=0$까지의 거리$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 교과 과정에서 배우는 것이지만 중학교 교과 과정에서 배우는 기본적인 도구만을 사용하여 이 공식을 증명할 수 있습니다. 이 글에서는 중학교 교과 과정의 수학만을 사용하여 점과 직선사이의 거리 공식을 증명합니다.

증명을 할 때 필요한 몇 가지 사실들

$x$축 또는 $y$축에 평행한 선분의 길이

두 점 $\mathrm{A}(x_\mathrm{A}, y_\mathrm{A})$, $\mathrm{B}(x_\mathrm{B}, y_\mathrm{B})$를 연결한 선분 $\mathrm{AB}$가 $x$축에 평행할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이$$\mathrm{AB}=|x_\mathrm{A}-x_\mathrm{B}|=|x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}|$$

마찬가지로, 선분 $\mathrm{AB}$가 $y$축에 평행할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이 $$\mathrm{AB}=|y_\mathrm{A}-y_\mathrm{B}|=|y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}|$$

직각삼각형의 높이를 구하는 법

직각 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 꼭짓점 $\mathrm{B}$에서 빗변 $\mathrm{AC}$에서 내린 수선의 길이를 $d$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $$\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}$$ 또는 $$\frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot d$$입니다. 따라서$$\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{BC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot d$$이므로 수선 $d$의 길이는 $$d=\frac{\mathrm{AB\cdot BC}}{\mathrm{AC}}$$

증명

STEP 0 : 증명을 위한 준비

직선 $l$의 방정식을 $ax+by+c=0$이라 두고, 직선 위에 있지 않은 점$\mathrm{P}(x_0,y_0)$를 생각해보겠습니다. $a=0$이거나 $b=0$이 되어 직선 $l$이 $x$축에 평행하거나 $y$축에 평행한 직선이 될 때, 점과 직선 사이의 거리 공식이 성립하는 것은 쉽게 확인할 수 있으므로 이 글에서는 $a\ne 0$이고 $b\ne 0$인 경우에 대해서 점과 직선사이의 거리 공식이 성립함을 보이겠습니다.

먼저 점 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$를 지나고 $y$축에 평행한 직선과 $x$축에 평행한 직선이 직선 $l$과 만나는 점을 각각 점 $\mathrm{A}(x_\mathrm{A}, y_\mathrm{A})$, 점 $\mathrm{B}(x_\mathrm{B}, y_\mathrm{B})$라고 두면, 선분 $\mathrm{AP}$는 $y$축에 평행하기 때문에 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표와 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 같습니다. 마찬가지로 선분 $\mathrm{BP}$는 $x$축에 평행하기 때문에 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표와 같습니다.$$\begin{align}x_\mathrm{A}&=x_0\\y_\mathrm{B}&=y_0\end{align}$$

점과 직선사이의 거리의 증명은 다음과 같은 4단계로 이루어집니다.

STEP 1 : $\mathrm{AP}$의 길이 구하기

점 $\mathrm{A}$가 직선 $l$위에 있기 때문에 점$\mathrm{A}$의 좌표 $(x_\mathrm{A}, y_\mathrm{A})$를 직선 $l$의 방정식에 대입하면 $$ax_\mathrm{A}+by_\mathrm{A}+c=0\tag{1}\label{eq1}$$를 얻을 수 있습니다. 식$\eqref{eq1}$에서 $$\begin{align}y_\mathrm{A}&=-\frac{a}{b}\color{red}{x_A}-\frac{c}{b}\\&=-\frac{a}{b}\color{red}{x_0}-\frac{c}{b}\end{align}$$입니다. 선분 $\mathrm{AP}$는 $y$축과 평행하므로 선분 $\mathrm{AP}$의 길이$$\begin{align}\mathrm{AP}&=\left|y_0-y_\mathrm{A}\right|\\
&=\left|y_0-\left(-\frac{a}{b}x_0-\frac{c}{b}\right)\right|\\
&=\left|\frac{ax_0+by_0+c}{b}\right|\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{|b|}\end{align}$$

STEP 2: $\mathrm{BP}$의 길이 구하기

마찬가지로, 점 $\mathrm{B}$는 직선 $l$위에 있으므로 점$\mathrm{B}$의 좌표 $(x_\mathrm{B}, y_\mathrm{B})$를 직선 $l$의 방정식에 대입하면 $$ax_\mathrm{B}+by_\mathrm{B}+c=0\tag{2}\label{eq2}$$를 얻을 수 있습니다. 식$\eqref{eq2}$에서 $$\begin{align}x_\mathrm{B}&=-\frac{b}{a}\color{red}{y_\mathrm{B}}-\frac{c}{a}\\
&=-\frac{b}{a}\color{red}{y_0}-\frac{c}{a}\end{align}$$입니다. 선분 $\mathrm{BP}$는 $x$축과 평행하므로 선분 $\mathrm{BP}$의 길이$$\begin{align}\mathrm{BP}&=\left|x_0-x_\mathrm{B}\right|\\
&=\left|x_0-\left(-\frac{b}{a}y_0-\frac{c}{a}\right)\right|\\
&=\left|\frac{ax_0+by_0+c}{a}\right|\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{|a|}\end{align}$$

STEP 3 : $\mathrm{AB}$의 길이 구하기

직각삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 피타고라스의 정리를 사용하면 $$\begin{align}\mathrm{AB}^2&=\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|^2}{|b|^2}+\frac{|ax_0+by_0+c|^2}{|a|^2}\\
&=\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{b^2}+\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2}\\
&=(ax_0+by_0+c)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\\
\end{align}$$ 입니다. 따라서 선분$\mathrm{AB}$의 길이 $$\begin{align}
\mathrm{AB}&=\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}\\
&=\sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}\sqrt{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}\\
&=|ax_0+by_0+c|\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\end{align}$$

STEP 4 : 점$\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리 $d$ 구하기

따라서 거리 $$\require{cancel}\begin{align}d&=\frac{\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}}{\mathrm{AB}}\\
&=\frac{\frac{|ax_0+by_0+c|}{|a|}\cdot\frac{|ax_0+by_0+c|}{|b|}}{|ax_0+by_0+c|\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{|a||b|\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}}}\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{\cancel{a^2b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{\cancel{a^2b^2}}}}\\
&=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}$$