산술 기하 평균 부등식의 함정

이 글에서는 산술 기하 평균 부등식을 의미를 살펴보고, 산술 기하 평균 부등식을 올바르게 사용하는 방법에 대해 알아봅니다.

고등학교 수학에서 가장 인기있는 절대 부등식은 아마도 산술 기하 평균 부등식일 것입니다. 보통 이 부등식은 어떤 식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제에서 많이 사용을 하는데요, 혹시 이 부등식을 사용해서 답을 구하려 할 때  제대로 사용하고 있는지 찜찜했던 기억이 있지 않은가요? 실제로 산술 기하 평균 부등식을 잘못 사용하면 올바르지 않은 결과를 얻게 되는 경우가 종종 있습니다.

이렇게 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최솟값을 구했지만 그 값이 올바르지 않은 이유에 대해서 생각해보고, 산술 기하 평균 부등식의 의미를 올바르게 해석하는 방법에 대해서 이야기 해보겠습니다.

산술 기하 평균 부등식의 활용 에 대한 글(클릭) 도 참조해 보세요.

2변수 산술 기하 평균 부등식

2개의 변수를 사용한  산술 기하 평균 부등식은 다음과 같습니다.

음이 아닌 두 실수 \(x, y\)에 대해서,

$$ x +y \geq2\sqrt{\mathstrut xy}$$단, 등호는 \(x=y\) 일때 성립

그리고, 다음 문제를 생각해봅시다.

[문제1]

실수 \(x\)에 대해서, \(x^2+1\)의 최솟값을 구하시오.

먼저 올바른 풀이는 다음과 같습니다.

풀이1

 \(x^2+1\)은 \(x\)에 대한 2차식이므로 2차 함수 \(y=x^2+1\)을 생각해 보자. 이 함수의 그래프를 그려보면, 꼭짓점의 좌표는 \((0,1)\)이 되므로 \(y\)의 최솟값은 \(x=0\)일 때 \(1\)이 된다.

이번에는 같은 문제를 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 문제를 풀어보겠습니다.

풀이2

\(x^2\)과 \(1\) 모두 음이 아닌 실수이므로 산술 기하 평균 부등식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$

등호는 \(|x|=1\), 즉 \(x=\pm1\)일때 성립

따라서 \(x^2+1\)의 최솟값은 \(x=\pm1\)일때 \((\pm1)^2+1=2\)

앗? 2차 함수를 사용한 [해답1]의 답과는 다른 값을 얻었습니다. 음이 아닌 2개의 실수(\(x^2\)과 \(1\))을 사용했기 때문에 산술 기하 평균 부등식은 올바르게 사용한 것입니다. 하지만 결과는 왜  바르지 못할까요?

산술 기하 평균 부등식의 의미

잘못된 답을 얻게된 이유는 산술 기하 평균 부등식의 결과를 잘못 해석하였기 때문입니다. 어떤서부터 잘못되었는지 하나씩 따져 보겠습니다.  [풀이2]에서 산술 기하 평균 부등식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었습니다. $$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$

등호는 \(|x|=1\)일때 성립

이 부등식의 의미는 좌변의 값이 항상 우변의 값보다 같거나 크다라는 것입니다.  좌변과 우변의 식(\(y=x^2+1, y=|x|\))을 각각 그래프로 그려보면 이 부등식의 의미가 보다 분명해 집니다.

어떻습니까? 좌변에 해당하는  \(y=x^2+1\)의 그래프가 우변에 해당하는 \(y=|x|\)의 그래프와  두 점\((-1,2),(1,2)\)에서 접하는 것을 제외하고는 항상 위쪽에 있죠? 혹시 이 접점의 \(x\)좌표 \(\pm1\)이 어떤 의미를 가지고 있는지 아시겠나요? 그렇습니다. 바로 이 값은 산술 기하 평균 부등식 $$x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|$$에서 등호가 성립할 조건인 것입니다.

따라서 이 부등식은 등호가 성립할 때 즉 \(|x|=1\) 일 때  \(x^2+1\)의 최솟값이 \((\pm1)^2+1=2\)이 된다는 것이 아니라, \(y=x^2+1\) 의 그래프가 \(y=|x|\)의 그래프와 만나거나  위에 있다는 것을 알려주는 것입니다.  등호가 성립할 때에는 두 그래프가 만난다고 해석을 해야 합니다. 즉 등호가 성립할 때의 조건은  단지 좌변과 우변의 식을 그래프로 그렸을 때 만나는 점의 \(x\)좌표가 어디인지를 알려줄 뿐이지 좌변의 식이 어디에서 최소가 되는 지를 알려주는 것은 아닙니다.  그러므로 등호가 성립할 때 항상 좌변의 식이 최소가 되는 것은 아닙니다. (\(y=x^2+1\)의 그래프를 보면 \(x=0\)일 때 \(y\)값이 \(x=1\)일 때 \(y\)값보다 더 작습니다.)

산술 기하 평균 부등식을 언제 쓸 수 있는가?

그렇다면 우리가 산술 기하 평균을 사용해서 최대/최솟값을 구할 수 있는 경우는 언제일까요? 앞서 말씀드렸듯이 등호가 성립할 때의 조건을 식에 대입하면 좌변과 우변의 그래프가 만나게 되는데요. 이 때 이 점의 좌표가 각 그래프에서 가장 낮은 점이 되거나, 가장 높은 점이 된다면 최대 최소를 구할 수 있게 됩니다. 특히 좌변이나 우변 중 한 변이 상수가 되면 항상 최댓값이나 최솟값을 구할 수 있게 됩니다.  대표적인 예를 살펴보겠습니다.

[문제2]

\(x>0\) 일 때, \(x+\frac{1}{x}\)의 최솟값을 구하시오.

산술 기하 평균 부등식을 이용한 풀이는 다음과 같습니다.

[풀이]

\(x>0\)이므로 \(\frac{1}{x}>0\) 이다. 따라서 산술 기하 평균 부등식을 사용하면,

$$x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$$

등호는 \(x=\frac{1}{x}\), 즉 \(x=1\)일때 성립한다. 따라서 \(x+\frac{1}{x}\)의 최솟값은 \(1+\frac{1}{1}=2\)

[문제2]의 풀이에서 \(x+{1\over x}\ge2\) 라는 결과를 얻을 수 있었습니다. 우변이 상수가 되었군요.  이 부등식의 뜻은  \(y=x+{1\over x}\)의 그래프가 항상 \(y=2\)의 그래프와 만나거나 위에 있다는 것입니다. 특히 등호가 \(x=1\)일때 성립한다는 것은 두 그래프가 만나는 교점의 \(x\)좌표가 \((1,2)\)이라는 뜻입니다. 이번에도 좌변과 우변의 식(\(y=x+{1\over x}\)과 \(y=2\))을 각각 그래프로 옮겨보면 이러한 사실을 분명하게 이해할 수 있습니다.

\(y=x+{1\over x}\) 그래프의 점 중 가장 낮은 점의 좌표는 \((1,2)\)입니다. 그러므로 \(x+{1\over x}\)의 최솟값은 \(2\)가 됩니다. 이 문제에서 산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최솟값을 계산할 수 있는 이유는 우변의 그래프가 \(x\)축에 평행한 직선, 즉 기울기가 \(0\)인 직선이기 때문입니다. (또는 \(y\)값이 상수라고 표현할 수도 있습니다.)

이 직선은 높이의 변화가 없기 때문에 \(y=x+{1\over x}\)의 그래프는 이 직선 밑으로 내려갈 수가 없습니다. 즉 \(x>0\) 일 때, \(y=x+{1\over x}\)의 그래프에서 모든 점의 \(y\)좌표는 \(2\)보다 작을 수가 없게 됩니다. 따라서 점 \((1,2)\)는 \(y=x+{1\over x}\)의 그래프에서 가장 낮은 점이므로  \(x+{1\over x}\)의 최솟값은 \(x=1\)일 때 \(2\)가 됩니다.

산술 기하 평균 부등식을 사용해서 최댓값이나 최솟값을 구할 때에는 결과의 의미를 항상 올바르게 해석을 하는 것이 중요합니다. 부등식의  좌변이나 우변이 상수가 아니라면, 더 주의해서 결과를 해석해 보아야 합니다.

여기까지 읽어보신 분들은 간단한 연습문제를 직접 풀어보는 것은 어떨까요?

[문제3]

실수 \(x\)에 대해 \(x^2+(4-x)^2\)의 최솟값을 구하시오.

어떻습니까? 산술 기하 평균 부등식을 이용해서 이 문제를 풀 수 있을까요? 만약 그렇지 않다면 왜 그럴까요?

[풀이]

 

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ASJ
6 years ago

정말 궁금했던 점이었는데, 깔끔하게 정리해주신 덕에 자세히 알고 갑니다. 고마워요! 🙂

김기본
6 years ago

정말 이해하기쉽고 질좋은 글 감사합니다

지완
6 years ago

선생님 글 잘 읽었습니다.

KSJ
5 years ago

문제3 풀어봤는데 해설이 있는지 궁금합니다ㅠㅜ 풀이과정을 보고싶어요

김은수
3 years ago
Reply to  KSJ

밑에 풀이 열기 되있는데욥ㅎㅎ

키움넥센
3 years ago
Reply to  김은수

그건 2년 전에 단 댓글이니까 지금은 추가한 것으로 보이는 거죠…

JJ
5 years ago

y=lxl 의 그래프가 아니라 y=2lxl의 그래프로 식이 바껴야 할것 같아요

죄수생
5 years ago

정말 감사합니다. 산술기하평균의 관계를 공부하면서 항상 궁금했거든요. ‘이건 그냥 절대부등식일 뿐인거 아닌가? 왜 이 절대부등식으로 최대최소를 구할 수 있는거지?’라고. 덕분에 시원하게 풀렸습니다

won
5 years ago

이런 내용이 기재되어있는 학술자료나 도서
알려주실 수 있나요 ?
정말 급한 문제라서, 빨리 부탁드립니다.

헐랭방구대박쓰;;
5 years ago

진짜 궁금했던 내용인데 너무 감사합니다. 다시 한 번 산술기하를 해석할 수 있게 되었어요!

HMM
5 years ago

저 질문이 있어요 혹시 산술평균 기하평균은 두변수 xy가 음이 아닌실수인게 아니라 양수일때 적용 가능한 것이 아닌가요?? 따라서 x제곱은 애초에 0이 될 수 있으므로 산술기하평균 부등식에 적용할 수 없었던 거죠…

손재철
5 years ago

좋은글 감사합니다

장수생
5 years ago

감사합니다

MIMIT
5 years ago

세심하게 알려 주시니 감사합니다~ 자주 보러 오겠습니다 ^^

훌리
5 years ago

크흑.. 감사합니다 sensei..

시원하다
4 years ago

크~~ 시~원합니다

mj
4 years ago

좋은 글 감사합니다.

4 years ago

우변이나 좌변이 상수가 되는지를 확인해보라는 건 우변이나 좌변 둘 중 하나라도 상수면 산술기하로 풀어도 된다는 거죠??

Granny Amber
4 years ago

전에 읽은 산술평균-기하평균 관련 글을 찾으려다 이 글로 왔는데요.
정말 좋은 글을 읽었습니다.

“등호가 성립할 때에는 두 그래프가 만난다고 해석을 해야 합니다.”
이 부분을 꼭 기억할게요.

고맙습니다.

나윤
4 years ago

유익한 글 감사합니다~

마삼촌
4 years ago

감사합니다 덕분에 조카한테 충분조건과 필요조건으로 설명할 수 있었습니다~

수험생
4 years ago

최고입니다ㅠㅠㅠㅠ 명쾌하네요
혹시 좌변이나 우변이 상수더라도 등호 조건이 성립되지 않으면 최대, 최소라고 말하지 못하는 건가요?

겨울조각
3 years ago

무슨일 하시는 분인지 정말 궁금합니다. 대단하시네요.

신지현
3 years ago

산술기하평균에서 양변을 그래프로 나타내었을 때 교점이 등호성립조건이라는것은 모든식에 해당되는건 아니잖아요 혹시 x^2+1과 ㅣxㅣ말고 또 있을까요 ??

털복숭이부엉이
3 years ago

안녕하세요. 좋은 글 감사합니다. 고등학교 수학을 공부하며 2/cos(theta) + 16/sin(theta)라는 식이 최소가 될 때 tan(theta)를 구하는 문제를 푸는데 이상하게 산술기하를 적용해 두 항이 같다고 놓고 답을 구하니 틀리고 미분을 이용해야 옳은 답이 나오기에 이유가 궁금했었는데 부등식을 그래프로 이해하니 이유를 알 수 있었네요. 잘 읽었습니다!

조금한사람
3 years ago

결론은 산술기하에서 최대값,최소값구하려면 좌변,우변중에 하나는 상수일때 쓰라는뜻이죠? 근데 고교문제중에 좌우변이 둘다 변수가 살아있는데도 산술기하가 적용되는 경우도 있었던거같은데요. 혹시 이런문제 기억하는분 안계시는지…

godingMath
3 years ago

네 그렇습니다. 말씀하신 “변수가 살아있는 풀이”를 갖고 있는 문제를 그림에 첨부해 두었습니다. 2010년 고1 교육청 기출문제입니다. 이 문제의 예시 답안은 전형적인 논리 결함을 갖고 있는 풀이입니다. 둘다 변수가 살아있는데도 산술기하를 써서 최댓값이나 최솟값을 구할 수 있는 경우는 사실 산술기하의 대소관계 뿐만 아니라 (문제속에 숨어있는) 또 다른 부등식이 관여하고 있기 때문입니다. 예를 들어, x+y≥2√xy 에서 x=y라는 것만으로, (변수가 살아 있는 경우에도) 문제에서 요구하는 최댓값을 구할 수 있다고 한다면 다음처럼 둥호가 성립할 조건이 x=y인 또다른 부등식이 있기 때문입니다. M≥x+y≥ 2√xy 만약 부등식 첫번째 부등식 M≥x+y 의 등호가 성립할 조건이 x=y 라면  두번째 부등식 x+y≥ 2√xy의 등호가 성립할 조건과 서로 같아지게 되어 x=y라는 것으로 최댓값을… Read more »

wrongamgm.png
sjy
3 years ago

선생님 문제3번의 결론은 상수가 아닐때는 직접 그래프를 그려서 확인한다 인가요?

그래프에서는 0~8사이에 f(x) 그래프에 y값이 존재안한걸 확인했기에 최솟값 8이 되는게맞는거죠?

키움넥센
3 years ago

정말… 좋은글 감사합니다..
수학과 교수나 수학 교사신가요??

Last edited 3 years ago by 키움넥센
릴리
3 years ago

오오 감사해요

릴리
3 years ago

혹시 미분 말고 산술기하 이용해서 삼차함수 최대 구하는 법 알려주실 수 있나요..? 범위 있을 때요!

김태양
3 years ago

감사합니다

정서영
2 years ago

안녕하세요!! 이번에 이 주제가 굉장히 흥미롭게 다가와서 학교 수학 시간에 발표한 고1 학생입니다. 저도 공부하다가 이상하다고 생각했던 점인데, 수학 선생님께서도 지적하셨던 부분이라ㅠ
풀이2 에서 x제곱과 1은 모두 음이 아닌 실수라고 해서 산술 기하 부등식을 이용할 수 있다고 했는데, 사실 음이 아닌 실수이면 0도 포함이잖아요,,, 원래 산술 기하 부등식을 사용할 수 있는 때는 양수일 때 사용 가능한데,
음이 아닌 실수니까 산술 기하 부등식을 사용할 수 있다는 건 잘못된 게 아닌가요?

정서영
2 years ago
Reply to  godingMath

감사합니당

정서영
2 years ago

감사합니당

Last edited 2 years ago by 정서영
discus
2 years ago

와우 정말 감사합니다.

dd
1 year ago

두 양수의 합이 일정할 때 곱의 최댓값, 곱이 일정할 때 합의 최솟값을 구할 수 있죠.
합 또는 곱이 일정하지 않은 경우에 대한 설명이네요. 좋은 글 잘 보고 갑니다^^

은비누
1 year ago

너무 좋은 내용입니다. 감사합니다.

감탄자
1 year ago

안녕하세요. 포스팅을 보고 놀랐습니다. 혹시 수학에 관한 책 출간하실 계획 없으신가요? 내용도 훌륭하고 정리도 이해가 쉽게 되도록 정말 잘 하시네요.
최근에는 포스팅을 안 하시는 것 같은데, 지금까지 해주신 소중한 기록들 잘 보존해주셨으면 좋겠습니다. 혹시 책을 내신다면 꼭 사서 두고 싶네요.

최현서
1 year ago

답답해서 검색해보고 있었는데 정말 명확하게 이해가되었습니다 선생님 감사합니다

난안졸림
8 months ago

이해가 쏙쏙 되는 글이었습니다! 감사합니다 ㅎㅎ

노베이스ㅠㅠ
2 months ago

궁금한게 있습니다. 위에서 산술-기하 평균의 관계의 부등식에서 양변 중 하나가 상수로 정해지면 쓸 수 있다고 하셨는데 이게 다른 부등식에서도 해당이 되는건가요?
예를 들어 x =< k, y =< 1일 때, x + y의 최솟값을 1 + k로 말할 수 없나요?

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