대칭식과 교대식은 다음과 같은 관계를 가지고 있습니다.
(1) 대칭식×대칭식=대칭식
(2) 교대식×대칭식=교대식
(3) 교대식×교대식=대칭식
이 글에서는 이 관계를 증명하고, 이 사실을 이용한 인수분해에 대해서 이야기합니다.
Tag: 인수분해
3변수 교대식의 성질과 인수분해
3변수 교대식은 3개의 문자중에서 어떤 2문자를 바꾸어 대입하여 계산하더라도 원래의 식과 그 부호가 반대로 되는 식입니다. 즉 3문자 교대식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족합니다. $$\begin{align}f(x,y,z)&=-f(y,x,z)\\&=-f(x,z,y)\\&=-f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 교대식의 인수분해는 다음과 같은 교대식의 중요한 성질을 이용합니다.
3변수 교대식$$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,y,z)$$로 인수분해가 되고, 이때 \(g(x,y,z)\)는 대칭식이 된다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 교대식의 성질을 이용한 인수분해 문제를 예를 들어 설명하겠습니다.3변수 대칭식의 인수분해
e 3변수 대칭식이란 3개의 문자를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 에서 3개의 문자중 어떠한 2개를 바꾸어 대입하여 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 동일한 식입니다. 즉 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같은 성질을 만족해야 합니다.$$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 3변수 대칭식의 인수분해는 다음과 같은 중요한 사실을 이용하는 경우가 많습니다.
3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 에서 \(x\) 자리에 \(-y\) 를 대입하여 계산한 결과가 0이 되면, 식 \(f(x,y,z)\)는 $$(x+y)(y+z)(z+x)$$를 인수로 갖는다. 즉, $$f(-y,y,z)=0\implies f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\cdot g(x,y,z) $$ 또한 이 때, \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이다.
이 글에서는 이 사실을 증명하고, 이것을 이용한 인수분해 문제를 풀어보겠습니다. (more…)
3원 3차 다항식의 인수분해와 응용
3개의 문자를 사용한 3차 다항식 \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 \( x^3+y^3+z^3-3xyz\) 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다. (more…)