3개의 문자를 사용한 3차 다항식 x3+y3+z3−3xyz 은 거의 모든 참고서나 문제집에서 볼 수 있을 정도로 중요한 식입니다. 특히 이 다항식은 문자의 순서를 바꾸어도 그 결과가 문자의 순서를 바꾸기 전과 변함이 없는 대칭식입니다. 이 글에서는 x3+y3+z3−3xyz 과 같은 3개의 문자를 사용한 3차 다항식의 인수분해와 그 응용을 다루어 봅니다.
인수분해 패턴 1
먼저 가장 기본적인 식 x3+y3+z3−3xyz 의 인수분해를 살펴 보겠습니다.
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=12(x+y+z){(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}
이 인수분해를 사용하는 문제들은 보통 다음 문제와 같이 x,y,z 중 한 개의 값을 숫자로 바꾸어서 이 식을 사용해야 한다는 것을 알아차리지 못하게 하는 경우가 많습니다.
[문제1]
다음 식을 인수 분해 하시오.
x3+y3+8−6xy
풀이
x3+y3+z3−3xyz 에 z=2 를 대입하여 정리하면 x3+y3+23−3xy(2)=x3+y3+8−6xy 가 되어 [문제1]의 식과 같아집니다. 따라서 다음처럼 인수분해를 할 수 있습니다. x3+y3+23−3xy(2)=(x+y+2)(x2+y2+22−xy−2x−2y)
=(x+y+2)(x2+y2+4−xy−2x−2y)
이 인수분해 식은 다음과 같이 변형을 해서 사용하기 도 합니다.
인수분해 패턴 1의 변형
x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)+3xyz=12(x+y+z){(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}+3xyz
이 식의 인수분해는 많이 익숙한 분들이 많을 것입니다. 그렇다면 다음 식의 인수분해는 어떻습니까? 다음 식 역시 3개의 문자를 사용한 3차 대칭식의 인수분해 입니다. 이 식의 인수분해는 [패턴1]과 그 변형 모두를 이용합니다.
인수분해 패턴 2
(x+y+z)3−(x3+y3+z3)=3(x+y)(y+z)(z+x)
이 식의 인수분해 과정을 구체적으로 나타내면 다음과 같습니다.
(x+y+z)3−(x3+y3+z3)=(x+y+z)3−(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)−3xyz=(x+y+z){(x+y+z)2−x2−yz−z2+xy+yz+zx}−3xyz=(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)−3xyz=3{(x+y+z)(xy+yz+xz)−xyz}=3(x2y+x2z+xy2+2xyz+xz2+y2+yz2)=3{(y+z)x2+(y+z)2x+yz(y+z)}=3(y+z){x2+(y+z)x+yz)}=3(y+z)(x+y)(x+z)=3(x+y)(y+z)(z+x)
다음 문제는 이 패턴을 사용해서 만든 문제입니다.
[문제2]
실수 x,y,z에 대해, 두 함수 f(x,y,z),g(x,y,z)를 다음과 같이 정의한다. f(x,y,z)=x3+y3+z3−3xyzg(x,y,z)=(x+y+z)3−(x3+y3+z3)실수 a,b,c에 대해 f(a+b−c,b+c−a,c+a−b)=4g(a+b−c,b+c−a,c+a−b)=48 일 때, a3+b3+c3의 값을 구하시오.
[풀이]
다음과 같은 순서로 문제를 풀 수 있습니다.
- f(x,y,z)과 g(x,y,z) 를 인수분해 합니다.
- x=a+b−c,y=b+c−a,z=c+a−b 로 치환을 합니다.
- 이 치환을 f(x,y,z)과 g(x,y,z) 의 인수분해식에 대입합니다.
먼저 f(x,y,z)는 [패턴1]을 사용하여 인수분해 합니다.
f(x,y,z)=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=12(x+y+z){(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}그런데, x+y+z=(a+b−c)+(b+c−a)+(c+a−b)=a+b+c이고, x−y=(a+b−c)−(b+c−a)=2(a−c)y−z=(b+c−a)−(c+a−b)=2(b−a)z−x=(c+a−b)−(a+b−c)=2(c−b)이므로 이 것을 f(x,y,z)에 대입하면 f(x,y,z)=12(a+b+c){4(a−c)2+4(b−a)2+4(c−b)2}=2(a+b+c){(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}=4∴(a+b+c){(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}=2
그리고 g(x,y,z)는 [패턴2]를 사용하여 인수분해 합니다.g(x,y,z)=3(x+y)(y+z)(z+x)그런데, x=a+b−c,y=b+c−a,z=c+a−b 로 치환을 했기 때문에
x+y=2b,y+z=2c,z+x=2a 가 됩니다. 이 결과를 g(x,y,z)에 대입하면 g(x,y,z)=3(2b)(2c)(2a)=24abc=48∴abc=2가 됩니다. 따라서 a3+b3+c3=12(a+b+c){(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}+3abc=12×2+3×2=7
유용하게 잘 읽었습니다ㅎㅎ
다만 인수분해 패턴1에서 (x+y+z)(x^2+y^2+z^2−xy−yz−zx)인데 잘못되어있어요!
아, 그렇네요. 감사합니다. 수정했습니다. 🙂
와우
(대충 감탄하며 잘봤다는 댓글)
감사합니다. 아이디를 보니 따뜻한 호두아몬드율무차가 생각나네요! ^^