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$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$라고 할 때,

서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,…,p_{n+1}\)에 대해,  $$\begin{align}
&f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\\
&\Leftrightarrow f(x)=0 \text{이 }x\text{에 대한 항등식}\end{align}$$

명제의 의미

이 명제의 의미는 서로 다른 \(n+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,…,p_{n+1}\)에 대해 다음과 같이 조건$$f(p_1)=f(p_2)=\cdots=f(p_{n+1})=0\tag{1}\label{eq1}$$이 성립하면, 등식 \(f(x)=0\)은 항등식이라는 것으로 바꾸어 말할 수 있다는 것입니다. 증명을 하기 전 몇가지 예를 들어 살펴보겠습니다.

\(n=1\)일 때

먼저 \(n=1\) 일 때, \(f(x)=a_1x+a_0\)가 서로 다른 실수 \(p_1\), \(p_2\)에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=0$$이 성립한다고 하면, $$\begin{align}
a_1p+a_0&=0\tag{2}\label{eq2}\\
a_1q+a_0&=0\tag{3}\label{eq3}\\
\end{align}$$ 입니다. 다음으로 식\(\eqref{eq2}-\eqref{eq3}\)를 계산하면, $$a_1(p_1-q_2)=0$$을 얻습니다. 그런데 \(p_1\)와 \(p_2\)는 서로 다른 실수이므로 \(p_1-q_2\ne 0\)입니다. 따라서 \(a_1(p-q)=0\)이기 위해서는 \(a_1=0\)이어야 합니다. 이제 \(a_1=0\)을 식\(\eqref{eq1}\)에 대입하면 $$0\cdot p _1+ a_0=0$$이므로 $$a_0=0$$입니다. 따라서 \(a_1=a_0=0\)입니다.

\(n=2\)일 때

다음으로 \(n=2\)일 때, \(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0\)가 서로 다른 세 실수 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\)에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=f(p_3)=0$$
이 성립한다면 먼저 \(f(p_1)=0\)이고, \(f(p_2)=0\)인 것을 이용하여 $$f(x)=a_2(x-p_1)(x-p_2)$$로 \(f(x)\)를 인수분해 할 수 있습니다. 한편, \(f(p_3)=0\) 이므로 $$f(p_3)=a_2(p_3-p_1)(p_3-p2)=0$$ 이어야 합니다. 그런데, \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\)는 서로 다른 세 실수 이므로 $$\begin{align}p_3-p_1\ne0 \\p_3-p_2\ne 0 \end{align}$$입니다. 따라서 $$a_2(p_3-p_1)(p_3-p2)=0$$이 되기 위해서는 \(a_3=0\)이어어야 하고, 결과적으로 $$\begin{align}
f(x)&=0\cdot x^2+a_1x+a_0\\
&=a_1x+a_0\\
\end{align}$$가 됩니다. 앞에서 \(n=1\)일 때 \(f(p_1)=f(p_2)=0\)이면 \(a_1=a_0=0\)인 것은 이미 확인하였으므로 $$a_2=a_1=a_0=0$$입니다.

조건 \(\eqref{eq1}\)의 목적

그렇다면 조건 \(\eqref{eq1}\)을 사용하는 목적은 무엇일까요?  조건 \(\eqref{eq1}\)을 사용하는 가장 큰 이유는 등식 \(f(x)=0\)이 항등식임을 보이기 위해 필요한 계산을 피할 수 있다는 것입니다. 조건 \(\eqref{eq1}\)을 사용할 수 있다면  \(f(x)=0\)이 항등식임을 보이기 위해 \(f(x)\)의 모든 계수가 \(0\)이 된다는 것을 계산을 통해 보여줄 필요가 없습니다. 즉, $$a_n=a_{n-1}=a_{n-2}=\cdots=a_0=0$$임을 보일 필요없이 서로 다른 \(n+1\)개의 실수에 대해 등식 \(f(x)=0\)가 성립하는 것만을 보여줌으로써 등식 \(f(x)=0\) 가 항등식이라는 것을 보일 수 있게 됩니다.

증명

등식 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$$이 항등식이 될 필요충분조건은\(f(x)\)의 모든 계수가 \(0\)이 되는 것, 즉 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$이므로 $$조건\eqref{eq1}\Leftrightarrow  a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$을 보여주면 됩니다. 필요충분관계의 증명이므로, 필요성과 충분성을 둘 다 확인해주어야 합니다.

조건\(\eqref{eq1}\Rightarrow a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0\)

수학적 귀납법을 사용하여 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립하는 것을 보이면 좋을 것 같습니다. 기본적인 증명의 얼개는 앞서 \(n=2\)인 경우에서 인수분해를 사용하여 \(f(x)\)의 모든 계수가 \(0\)인 것을 보인 것과 같은 방법을 사용합니다.

먼저 \(n=1\)일 때, 이 명제가 성립하는 것은 앞에서 이미 보였습니다. 이제 \(n=k\)일 때, 이 명제가 성립한다고 하겠습니다,

$$f(x)=a_{k+1}x^{k+1}+a_{k}x^{k}+\cdots+a_0$$가 서로 다른 \(k+2\)개의 실수 $$p_1, p_2,\cdots p_{k+2}$$에 대해 $$f(p_1)=f(p_2)=\cdots =f(p_{k+2})=0$$이 성립한다면 먼저 \(k+1\)개의 실수 \(p_1,p_2,\cdots,p_{k+1}\)을 이용해 \(f(x)\)를 다음과 같이 인수분해 해 줄 수 있습니다. $$f(x)=a_n(x-p_1)(x-p_2)\cdots(x-p_{k+1})$$ 한편, \(f(p_{k+2})=0\)이므로 $$\begin{align}
&f(p_{k+2})\\
&=a_{k+1}(p_{k+2}-p_1)(p_{k+2}-p_2)\cdots(p_{k+2}-p_{k+1})\\
&=0\end{align}$$ 입니다. 그런데 \(p_1,p_2,\cdots,p_{k+2}\)는 서로 다른 실수이기 때문에 $$\begin{align}
p_{k+2}-p_{1}&\ne 0\\
p_{k+2}-p_{2}&\ne 0\\
\cdots \\
p_{k+2}-p_{k}&\ne 0\\
\end{align}$$
입니다. 따라서 $$a_{k+1}(p_{n+1}-p_1)(p_{n+2}-p_2)\cdots(p_{n+1}-p_n)=0$$이기 위해서는 $$a_{k+1}=0\tag{4}\label{eq4}$$이어야 합니다. 따라서$$\begin{align}
f(x)&=0\cdot x^{k+1}+a_{k}x^{k}+\cdots+a_0\\
&=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_0\\
\end{align}$$ 그런데 \(f(x)\)는 서로 다른 \(n+2\)개의 실수에 대해 그 값이 \(0\)이 되는 다항식이므로 귀납 가정에 의해, $$a_k=a_{k-1}=\cdots=a_0=0\tag{5}\label{eq5}$$이 되어야 합니다. 따라서 \(\eqref{eq4}\)와 \(\eqref{eq5}\)에 의해 $$a_{k+1}=a_k=a_{k-1}=\cdots=a_0=0$$ 이 되어 $$조건\eqref{eq1}\Rightarrow a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0$$은 성립합니다.

\(a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0\Rightarrow\)조건\(\eqref{eq1}\)

$$f(x)=a_nx_n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$의 모든 계수 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0=0$$이면 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)=0\)이므로 $$f(p_1)=f(p_2)=\cdots f(p_{n+1})=0$$입니다. 따라서 $$a_n=a_{n-1}=\cdots=a_0\Rightarrow\ 조건\eqref{eq1}$$은 참입니다.

관련문제

2012학년도 평가원 9월 가형 21번

삼차함수 \(y=f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 \(f(x)-x=0\)이 서로 다른 세 실근 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)를 갖는다.
(나) \(x=3\)일 때 극값 7을 갖는다.
(다) \(f(f(3))=5\)

[보기]

ㄱ.  \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)는 방정식 \(f(f(x))-x=0\)의 근이다.
ㄴ. \(h(x)=x\)
ㄷ. \(g'(3)=1\)

풀이

(이 글의 주제와 관련있는 것은 ㄱ과 ㄴ이므로 ㄷ의 풀이는 생략하겠습니다.)

먼저 조건(가)에 의해 $$\begin{align}
&f(\alpha)-\alpha=0\Leftrightarrow f(\alpha)=\alpha\\
&f(\beta)-\beta=0\Leftrightarrow f(\beta)=\beta\\
&f(\gamma)=\gamma=0\Leftrightarrow f(\gamma)=\gamma
\end{align}$$ 이므로, $$\begin{align}
&f(f(\alpha))-\alpha\\
&=f(\alpha)-\alpha\\
&=0\end{align}$$ 입니다. 같은 방법으로, $$\begin{align}
&f(f(\beta))-\beta=0\\
&f(f(\gamma))-\gamma=0\\
\end{align}$$이므로 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)는 방정식 \(f(f(x))-x=0\)의 근입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.

다음으로, 문제에서 \(f(f(x))\)를 \(f(x)-x\)로 나눈 몫을 \(g(x)\), 나머지를 \(h(x)\)라 하였으므로 $$f(f(x))=(f(x)-x)g(x)+h(x)\tag{6}\label{eq6}$$입니다. 식\(\eqref{eq6}\)에 \(x=\alpha\)를 대입하면 $$\begin{align}
f(f(\alpha))&=(f(\alpha)-\alpha)g(\alpha)+h(\alpha)\\
&=h(\alpha) (\because f(\alpha)-\alpha=0\ 조건(가))\\
\end{align}$$ 입니다. 그런데 ㄱ에서 \(f(f(\alpha))=\alpha\)이므로 \(h(\alpha)=\alpha\)입니다. 마찬가지로, $$h(\beta)=\beta, h(\gamma)=\gamma$$이므로 등식 \(h(x)=x\)는 \(x=\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) 에서 성립합니다. 문제에서 \(f(x)\)는 삼차함수이므로 \(f(f(x))\)를 나누는 식 \(f(x)-x\)의 차수는 삼차입니다. 그러므로 나머지 \(h(x)\)는 이차이하의 다항식이 되어 \(h(x)=ax^2+bx+c\)라고 쓸 수 있습니다. 등식 $$h(x)=x\Leftrightarrow h(x)-x=0$$이므로 $$ax^2+(b-1)x+c=0$$이고, 이 등식이 세 실수 \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) 에서 성립하므로 이 등식은 항등식이고, $$a=b-1=c=0$$입니다. 따라서 $$\begin{align}
h(x)&=ax^2+bx+c\\
&=0\cdot x^2+1\cdot x + 0\\
&=x
\end{align}$$입니다. 따라서 \(h(x)=x\)이므로 ㄴ은 참입니다.

관련문제

• 2019학년도 울산대학교 수리 논술 2번