3차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) (단, \(\alpha<\beta\)) 에서 극값 \(f(\alpha)\)와 \(f(\beta)\)를 가질 때, 두 극값의 차는 다음과 같습니다.
$$
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3\tag{1}\label{eq0}$$
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전설의 수학 문제를 찾아서 – 삼차함수의 최대/최소 (1991, 동경대)
전설의 수학 문제를 찾아서, 5번째 문제는 3차함수의 최대/최소 문제입니다. 1991년 동경대 입시 문제로, 많은 사람들을 놀라게 했던 문제입니다.
구간 \(-\dfrac{7}{4}\leq x \leq 3\) 에서 함수 \(f(x)=x^3-2x^2-3x+4\) 의 최댓값과 최솟값을 구하시오
이 문제는 평범한 문제입니다. 하지만 이 문제는 어려운 문제입니다. 이 문제에 담겨있는 출제자의 의도는 무엇일까요? 그리고 이 문제에서 배울 수 있는 것은 무엇일까요? (more…)
삼차함수 그래프의 대칭성과 4등분 법칙
삼차함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프는 다음과 같은 대칭성을 가지고 있습니다.
대칭성① : 삼차함수의 그래프는 변곡점 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)에 대해 점대칭이다.
대칭성② : 삼차함수의 그래프는 합동인 \(8\)개의 평행사변형으로 분할할 수 있다.(\(4\)등분 법칙)
이 글에서는 삼차함수 그래프의 대칭성을 증명하고, 이 대칭성을 활용하는 법에 대해 이야기 합니다.