삼차함수 그래프의 대칭성과 4등분 법칙

삼차함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프는  다음과 같은 대칭성을 가지고 있습니다.

대칭성① : 삼차함수의 그래프는 변곡점 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)에 대해 점대칭이다.
대칭성② : 삼차함수의 그래프는 합동인 \(8\)개의 평행사변형으로 분할할 수 있다.(\(4\)등분 법칙)

이 글에서는 삼차함수 그래프의 대칭성을 증명하고, 이 대칭성을 활용하는 법에 대해 이야기 합니다.

대칭성①의 증명

삼차함수에서 변곡점의 위치

변곡점은 곡선의 위로 볼록/아래로 볼록이 바뀌는 점으로, 함수 \(f(x)\)의 이계도함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)의 부호가 바뀌는 점입니다. 모든 삼차함수는 변곡점을 가지고 있고, (이 사실에 대한 증명은 다른 글에서 다루어보겠습니다.) 변곡점에서 이계도함수 \(f^{\prime\prime}(x)=0\) 이므로 삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$에서 $$\begin{align}f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f^{\prime\prime}(x)&=6ax+2b\end{align}$$입니다. 따라서 방정식$$
f^{\prime\prime}(x)=0\Leftrightarrow 6ax+2b=0$$ 의 해는 
$$x=-\frac{b}{3a}$$입니다. 그러므로 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점의 좌표는 $$\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)$$입니다.

평행이동을 이용한 증명

그래프의 점 대칭성은 평행이동을 한 이후에도 유지됩니다. 따라서 삼차함수의 그래프가 변곡점에 대해 점대칭이라는 것을 증명하려면 먼저 삼차함수의 변곡점을 원점으로 평행이동하고, 평행이동한 그래프가 원점 대칭이라는 것을 보여주면 됩니다.  앞서 이야기한 바와 같이, $$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$의 변곡점은 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)입니다.

\(-\dfrac{b}{3a}=t\)로 두면, 삼차함수의 변곡점은 \((t,f(t))\)로 표현할 수 있습니다. 이제 이 점을 원점으로 평행이동하기 위해서는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(-t\), \(y\)축의 방향으로 \(-f(t)\) 만큼 평행이동해주어야 합니다. 평행이동을 하고 난 후의 식을 \(g(x)\)라 하면, $$\begin{align}g(x)&=f(x-(-t))-f(t)\\&=a(x+t)^3+b(x+t)^2+c(x+t)+d-f(t)\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$로 나타낼 수 있습니다. 이제 \(y=g(x)\) 의 그래프가 원점 대칭이 되는지 확인해 보겠습니다. 식\(\eqref{eq1}\)을 전개해서 \(g(x)\)의 모든 항의 계수를 조사해보면, $$\begin{array}{c|l}
x^3\text{의 계수}& a\\ \hline
x^2\text{의 계수}&3at+b=3a\left(-\dfrac{b}{3a}\right)+b=0\\ \hline
x\text{의 계수}&3at^2+2bt+c\\ \hline
\text{상수항}&\begin{align}&at^3+bt^2+ct+d-f(t)\\&=f(t)-f(t)=0\end{align}
\end{array}$$에서 \(x^2\)의 계수와 상수항이 \(0\)이 됩니다. 이 결과를 이용하면 $$g(x)=ax^3+(3at^2+2bt+c)x$$입니다. 식이 조금 복잡해 보이므로 \(3at^2+2bt+c=p\)로 치환해서 \(g(x)=ax^3+px\) 로 짧게 줄여쓰겠습니다. 이제 \(g(-x)\)를 확인해 보면 $$\begin{align}g(-x)&=a(-x)^3+p(-x)\\&=-ax^3-px\\&=-(ax^3+px)\\&=-g(x)\end{align}$$입니다. 따라서 \(g(x)\)의 그래프는 원점에 대해 대칭이므로 임의의 삼차함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 변곡점에 대해 대칭입니다.

대칭성②의 증명

변곡점을 원점으로 평행이동한 함수  $$y=g(x)=ax^3+px$$를 계속 사용하여 대칭성②를 증명하겠습니다. 이 함수가 \(x=\alpha\)에서 극댓값을 가진다고 하면 직선 \(y=g(\alpha)\)는 \(y=g(x)\)의 그래프와 \((\alpha, g(\alpha))\) 에서 접하고, 또 다른 한 점에서 만나게 됩니다.

이 점의 \(x\) 좌표를 \(\gamma\) 라 하면 \(y=g(x)\)와 \(y=g(\alpha)\)를 연립하여 만든 방정식 $$ax^3+px=g(\alpha)$$의 해는 \(x=\alpha\) (중근), \(x=\gamma\) 입니다. 따라서 $$\begin{align}&ax^3+px=g(\alpha)\\&\Leftrightarrow ax^3+px-g(\alpha)=0\\&\Leftrightarrow  a(x-\alpha)^2(x-\gamma)=0\end{align}$$입니다. 이 방정식에서 근과 계수의 관계를 사용하면, \(g(\alpha)\)는 상수이므로 방정식의 좌변에서 \(x^2\)의 계수는 0입니다. 따라서 $$\begin{align}\text{세 근의 합}&=\alpha+\alpha+\gamma=-\frac{0}{a}=0\\&\Rightarrow \gamma=-2\alpha\\&\Rightarrow (\gamma-0)=(0-2\alpha)\end{align}$$ 이므로 $$\mathrm{BC}:\mathrm{CE}=1:2$$이 됩니다. 또한 삼차함수 \(g(x)\)는 변곡점에 대해 대칭이므로 $$\mathrm{AB}:\mathrm{BD}=1:2$$이기도 합니다. 그러므로 $$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CD}:\mathrm{DE}=1:1:1:1$$이 되어 \(4\)등분 법칙이 성립합니다.

대칭성의 활용

삼차함수의 \(4\)등분 법칙은 삼차함수와 한점에서 접하고 다른 점에서 만나는 접선이라면 기울기가 \(0\)이 아닌 경우에도 성립합니다. (즉, \(4\)등분 법칙을 생각할 때,  변곡점에서 접하는 직선은 제외합니다. 삼차함수의 그래프와 변곡점에서 접하는 접선은 변곡점이외의 점에서 삼차함수와 만나지 않으므로 \(4\)등분 법칙을 적용하기 위한 평행사변형을 만들 수 없습니다.)

이러한 삼차함수 그래프의 대칭성을 활용하는 가장 전형적인 문제는 삼차함수의 그래프와 접선이 만나는 점의 좌표를 구하는 것입니다.

[문제1] 2014학년도 평가원 9월 A형 27번

곡선 \(y=x^3+2x+7\) 위의 점 \(\mathrm{P}(-1,4)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 점 \((a,b)\)에서 곡선과 만난다. \(a+b\)의 값을 구하시오.

[문제1]의 풀이1

\(y’=3x^2+2\), \(y^{\prime\prime}=6x\)입니다. 변곡점의 \(x\)좌표를 찾기 위한 방정식 $$y^{\prime\prime}=0\Rightarrow 6x=0$$의 해는 $$x=0$$이므로 변곡점의 좌표는 \((0,7)\)입니다. \(x\)축 위의 세 점 \(\mathrm{A}(-1,0)\), \(\mathrm{O}(0,0)\), \(\mathrm{B}(a,0)\) 이라 하면, \((a>0)\) 삼차함수 그래프의 \(4\)등분 법칙에 의해 $$\mathrm{AO}:\mathrm{OB}=1:2$$이므로 $$\begin{align}&a=2\\&b=f(a)=f(2)=2^3+2\cdot2+7=19\end{align}$$$$\therefore a+b=2+19=21$$

[문제1]의 풀이2

근과 계수의 관계를 이용한 풀이도 가능합니다. 점 \(\mathrm{P}(-1,4)\)에서의 접선의 방정식을 \(y=mx+n\)이라 두면, 방정식 삼차함수의 그래프와 접선이 만나는 점을 구하기 위한 방정식 $$x^3+2x+7=mx+n$$의 해는 \(x=-1\) (중근), \(x=a\)입니다. $$\begin{align}&x^3+2x+7=mx+n\\&\Rightarrow x^3+(2-m)x+7-n=0\end{align}$$인데, 이 방정식의 \(x^2\)의 계수는 \(0\)이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합$$(-1)+(-1)+a=0$$$$\therefore a=2$$입니다.

[문제2] 2013학년도 평가원 6월 나형 27번

곡선 \(y=x^3-5x\) 위의 점 \(\mathrm{A}(1,-4)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{A}\)가 아닌 점 \(\mathrm{B}\)에서 곡선과 만난다. 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이는?

[문제2]의 풀이

[문제1]과 같은 해법을 가진 문제입니다. 이 함수 역시 \(x^2\)의 계수가 0이므로 변곡점의 \(x\)좌표 역시 0입니다. 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 \(a\) 라 하면, \(4\)등분 법칙이나 근과 계수의 관계를 이용하여 간단히 \(a=-2\cdot 1=-2\)가 된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 \(y\)좌표는 \((-2)^3-5(-2)=2\)입니다. 따라서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이는 $$\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

[문제3] 2015학년도 수능 A형 14번

함수 \(f(x)=x(x+1)(x-4)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. 직선 \(y=5x+k\)와 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 \(k\)의 값은?

[문제3]의 풀이

삼차함수의 그래프와 직선이 두 점에서 만나려면 직선이 삼차함수의 그래프에 접해야 합니다. 따라서 방정식 $$\begin{align}&f(x)=5x+k\\&\Leftrightarrow f(x)-5x-k=0\\&\Leftrightarrow x^3-3x^2-9x-k=0\end{align}$$ 중근과 다른 한 근 \(\alpha\)를 가져야 하고, 삼차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 문제를 풀 수 있습니다.

하지만 이 문제는 접선과 삼차함수가 만나는 점의 위치를 묻는 것이 아니므로 반드시 대칭성을 사용하여 문제를 풀어야 할 필요는 없습니다. 이 풀이에서는 대칭성을 이용한 풀이와 접점의 좌표를 이용한 풀이 모두를 살펴보겠습니다.

■대칭성을 이용한 풀이(근과 계수의 관계)

변곡점의 \(x\)좌표가 0이 아닐 때에는 대칭성을 이용하기 위해서 근과 계수의 관계를 사용하는 것이 여러모로 편리합니다.

접점의 \(x\)좌표를 \(t\)로 두면, 주어진 직선 \(y=5x+k\)의 기울기가 5이므로 접점에서의 접선의 기울기 $$f'(t)=5$$가 되어야 합니다. $$\begin{align}&f(x)=x(x+1)(x-4)=x^3-3x^2-4x\\&f'(x)=3x^2-6x-4\end{align}$$이므로 $$\begin{align}&f'(t)=5\\&\Leftrightarrow 3t^2-6t-4=5\\&\Leftrightarrow3t^2-6t-9=0\\&\Leftrightarrow3(t-3)(t+1)=0\end{align}$$$$\therefore t=3, -1$$입니다. 따라서 방정식 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$의 중근은 \(3\) 또는 \(-1\)이 되어야 합니다.

먼저 중근이 \(3\)일 때, 삼차함수의 그래프와 직선이 만나는 점의 \(x\)좌표를 찾기 위한 방정식 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$에 근과 계수의 관계를 적용하면 세 근의 합 $$3+3+\alpha=3$$$$\therefore \alpha=-3$$이고, 세 근의 곱 $$\begin{align}&3\cdot 3\cdot \alpha=k\\
&\Rightarrow 3\cdot3\cdot(-3)=k\end{align}$$$$\therefore k=-27$$입니다. 같은 방법으로 중근이 \(-1\)일 때, 근과 계수의 관계를 생각하면 세 근의 합 $$(-1)+(-1)+\alpha=3$$
$$\therefore \alpha=-5$$이고, 세 근의 곱 $$\begin{align}
&(-1)\cdot (-1)\cdot \alpha=k\\
&\Rightarrow (-1)\cdot (-1)\cdot 5=k\end{align}$$$$\therefore k=5$$ 입니다.  따라서 양수 \(k\)의 값은 \(5\)입니다.

■접점의 좌표를 이용한 풀이

앞서 풀이에서, 접점의 \(x\)좌표는 3또는 -1이므로 접점의 좌표는 \((3,f(3))=(3,-12)\)또는 \((-1,f(-1))=(-1,0)\)입니다.

접점의 좌표가 \((3,-12)\) 일 때 직선 \(y=5x+k\)가 이 점을 지나기 위해서는 $$-12=5\cdot 3+k$$$$\therefore k=-27$$입니다.

같은 방법으로, 접점의 좌표가 \((-1,0)\) 일 때 직선 \(y=5x+k\)가 이 점을 지나기 위해서는 $$0=5\cdot (-1)+k$$$$\therefore k=5$$입니다. 

이 중 양수 \(k\)의 값은 \(5\)입니다.

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AndyK
4 years ago

너무 잘 봤습니다~ 사차함수도 한번 정리해주실수 있으신지요~ 염치없이 부탁드려봅니다~

ㅇㅇ
4 years ago

3차함수 f'(x)의 상수항이 없네요?

brewer
4 years ago
Reply to  godingMath

대칭성 (1)의 증명 부분에서, f'(x)에 상수항 ‘c’가 누락된 것을 두고 하신 말씀인 듯합니다.

커피삼촌
4 years ago

선생님 혹시 이걸 일반화 시켜서 n차함수에 관해 정리한 정리 이름이 뭔지 아시나요?? 정리이름이 제이웰이엇나.. 가물가물해요 ㅠㅠ

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

이 정리의 이름과 증명법이 궁금합니다.

배찬미
3 years ago
Reply to  커피삼촌

요즘 수학2 과목을 배우고 있는 고2 학생입니다. 증명내용이 정리가 너무 잘되어 있고 문제에 접목시켜서 풀이해주신 것도 너무 좋은것 같아요,,여러 게시물 많이 보고있는데 도움을 많이 받고있습니다! 그래서 조심스럽게 여쭤보는거지만, 학교에서 수학에 대한 과제탐구를 진행하는데 제 보고서에 본 게시물을 참고해서 활용해도 괜찮을까요..? 불편하시면 거절하셔도 됩니다..! 확인 후 답변부탁드립니다

grace h
4 years ago

이 원리는 그러면 변곡점이 x축을 지나거나 x축에 접할때만 적용할 수 있나요?
f(x)=x(x+1)(x-4)의 그래프와 y=5x+k 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때 양수 k의 값은?
이 문제에서는 저 원리를 어떻게 적용하나요?

grace h
4 years ago
Reply to  godingMath

헉 감사합니다! 질문 또 있는데 ㅜㅜ f(x)=x^3 -3/2a x^2 -6a^2 x 의 극댓값과 극솟값의 차가 1/2 일 때, 상수 a의 값을 구하는 문제에서 공식..? 같은 거 써서 진짜 빨리 구하는 방법이 있었는데ㅠㅠ 혹시 알려주실 수 있으신가요?! ㅠㅠ

grace h
4 years ago
Reply to  godingMath

감사합니다! 너무 좋아요 ㅠㅠㅠ 또 질문하러 올게요 ㅎㅎㅎ

조호영
3 years ago

문득 예외가 생각이 들었습니다. 4등분 법칙의 경우, y=x^3과 같이 극점이 없는 경우, 쓸 수가 없지 않을까요?

조호영
3 years ago
Reply to  godingMath

‘변곡점을 지나는 접선’인 경우를 제외하고 그럴거 같았는데, 맞앗네요 ㅎㅎ

조호영
3 years ago

잘 읽었습니다!~

연두똥
2 years ago

선생님! 정말 잘 보고 있습니다!! 왜 이제서야 알게 됐을까 아쉬울 정도에요 감사합니다

근데 저도 같이 증명해보며 읽다보니 대칭성2의 증명에서 AB:BD=1:2인데 2:1로 잘못 표시된 것 같습니다 확인 부탁드려요

!
2 years ago

마지막 그림에서 -9x를 -4x로 바꿔야 할 것같아요

ㅇㅇ
2 years ago

마지막 그림에서 -4x인데 -9x로 오타가 난 것 같네요

화이팅
2 years ago

[문제1] 2014학년도 평가원 9월 A형 27번에
A(−1,0)
, O(0,0)
, B(a,0)
 
은 왜 나온건가요??

wog
10 months ago

감사합니다ㅠㅠㅠ 덕분에 문제푸는데 많이 수월해 질것 같습닏 ㅏㅠㅠㅠ 감사합니다!

조희철
2 months ago

대칭성을 이용한 풀이(근과 계수의 관계)에서 alpha=-5 ==> -5가 아니고 5.
그 아래 대입에서는 5을 맞게 넣었네요.