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삼차함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) 의 그래프는  다음과 같은 대칭성을 가지고 있습니다.

대칭성① : 삼차함수의 그래프는 변곡점 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)에 대해 점대칭이다.
대칭성② : 삼차함수의 그래프는 합동인 \(8\)개의 평행사변형으로 분할할 수 있다.(\(4\)등분 법칙)

이 글에서는 삼차함수 그래프의 대칭성을 증명하고, 이 대칭성을 활용하는 법에 대해 이야기 합니다.

대칭성①의 증명

삼차함수에서 변곡점의 위치

변곡점은 곡선의 위로 볼록/아래로 볼록이 바뀌는 점으로, 함수 \(f(x)\)의 이계도함수 \(f^{\prime\prime}(x)\)의 부호가 바뀌는 점입니다. 모든 삼차함수는 변곡점을 가지고 있고, (이 사실에 대한 증명은 다른 글에서 다루어보겠습니다.) 변곡점에서 이계도함수 \(f^{\prime\prime}(x)=0\) 이므로 삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$에서 $$\begin{align}f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f^{\prime\prime}(x)&=6ax+2b\end{align}$$입니다. 따라서 방정식$$
f^{\prime\prime}(x)=0\Leftrightarrow 6ax+2b=0$$ 의 해는 
$$x=-\frac{b}{3a}$$입니다. 그러므로 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점의 좌표는 $$\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)$$입니다.

평행이동을 이용한 증명

그래프의 점 대칭성은 평행이동을 한 이후에도 유지됩니다. 따라서 삼차함수의 그래프가 변곡점에 대해 점대칭이라는 것을 증명하려면 먼저 삼차함수의 변곡점을 원점으로 평행이동하고, 평행이동한 그래프가 원점 대칭이라는 것을 보여주면 됩니다.  앞서 이야기한 바와 같이, $$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$의 변곡점은 \(\left(-\dfrac{b}{3a}, f(-\dfrac{b}{3a})\right)\)입니다.

\(-\dfrac{b}{3a}=t\)로 두면, 삼차함수의 변곡점은 \((t,f(t))\)로 표현할 수 있습니다. 이제 이 점을 원점으로 평행이동하기 위해서는 삼차함수 \(f(x)\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(-t\), \(y\)축의 방향으로 \(-f(t)\) 만큼 평행이동해주어야 합니다. 평행이동을 하고 난 후의 식을 \(g(x)\)라 하면, $$\begin{align}g(x)&=f(x-(-t))-f(t)\\&=a(x+t)^3+b(x+t)^2+c(x+t)+d-f(t)\tag{1}\label{eq1}\end{align}$$로 나타낼 수 있습니다. 이제 \(y=g(x)\) 의 그래프가 원점 대칭이 되는지 확인해 보겠습니다. 식\(\eqref{eq1}\)을 전개해서 \(g(x)\)의 모든 항의 계수를 조사해보면, $$\begin{array}{c|l}
x^3\text{의 계수}& a\\ \hline
x^2\text{의 계수}&3at+b=3a\left(-\dfrac{b}{3a}\right)+b=0\\ \hline
x\text{의 계수}&3at^2+2bt+c\\ \hline
\text{상수항}&\begin{align}&at^3+bt^2+ct+d-f(t)\\&=f(t)-f(t)=0\end{align}
\end{array}$$에서 \(x^2\)의 계수와 상수항이 \(0\)이 됩니다. 이 결과를 이용하면 $$g(x)=ax^3+(3at^2+2bt+c)x$$입니다. 식이 조금 복잡해 보이므로 \(3at^2+2bt+c=p\)로 치환해서 \(g(x)=ax^3+px\) 로 짧게 줄여쓰겠습니다. 이제 \(g(-x)\)를 확인해 보면 $$\begin{align}g(-x)&=a(-x)^3+p(-x)\\&=-ax^3-px\\&=-(ax^3+px)\\&=-g(x)\end{align}$$입니다. 따라서 \(g(x)\)의 그래프는 원점에 대해 대칭이므로 임의의 삼차함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 변곡점에 대해 대칭입니다.

대칭성②의 증명

변곡점을 원점으로 평행이동한 함수  $$y=g(x)=ax^3+px$$를 계속 사용하여 대칭성②를 증명하겠습니다. 이 함수가 \(x=\alpha\)에서 극댓값을 가진다고 하면 직선 \(y=g(\alpha)\)는 \(y=g(x)\)의 그래프와 \((\alpha, g(\alpha))\) 에서 접하고, 또 다른 한 점에서 만나게 됩니다.

이 점의 \(x\) 좌표를 \(\gamma\) 라 하면 \(y=g(x)\)와 \(y=g(\alpha)\)를 연립하여 만든 방정식 $$ax^3+px=g(\alpha)$$의 해는 \(x=\alpha\) (중근), \(x=\gamma\) 입니다. 따라서 $$\begin{align}&ax^3+px=g(\alpha)\\&\Leftrightarrow ax^3+px-g(\alpha)=0\\&\Leftrightarrow  a(x-\alpha)^2(x-\gamma)=0\end{align}$$입니다. 이 방정식에서 근과 계수의 관계를 사용하면, \(g(\alpha)\)는 상수이므로 방정식의 좌변에서 \(x^2\)의 계수는 0입니다. 따라서 $$\begin{align}\text{세 근의 합}&=\alpha+\alpha+\gamma=-\frac{0}{a}=0\\&\Rightarrow \gamma=-2\alpha\\&\Rightarrow (\gamma-0)=(0-2\alpha)\end{align}$$ 이므로 $$\mathrm{BC}:\mathrm{CE}=1:2$$이 됩니다. 또한 삼차함수 \(g(x)\)는 변곡점에 대해 대칭이므로 $$\mathrm{AB}:\mathrm{BD}=1:2$$이기도 합니다. 그러므로 $$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CD}:\mathrm{DE}=1:1:1:1$$이 되어 \(4\)등분 법칙이 성립합니다.

대칭성의 활용

삼차함수의 \(4\)등분 법칙은 삼차함수와 한점에서 접하고 다른 점에서 만나는 접선이라면 기울기가 \(0\)이 아닌 경우에도 성립합니다. (즉, \(4\)등분 법칙을 생각할 때,  변곡점에서 접하는 직선은 제외합니다. 삼차함수의 그래프와 변곡점에서 접하는 접선은 변곡점이외의 점에서 삼차함수와 만나지 않으므로 \(4\)등분 법칙을 적용하기 위한 평행사변형을 만들 수 없습니다.)

이러한 삼차함수 그래프의 대칭성을 활용하는 가장 전형적인 문제는 삼차함수의 그래프와 접선이 만나는 점의 좌표를 구하는 것입니다.

[문제1] 2014학년도 평가원 9월 A형 27번

곡선 \(y=x^3+2x+7\) 위의 점 \(\mathrm{P}(-1,4)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 점 \((a,b)\)에서 곡선과 만난다. \(a+b\)의 값을 구하시오.

[문제1]의 풀이1

\(y’=3x^2+2\), \(y^{\prime\prime}=6x\)입니다. 변곡점의 \(x\)좌표를 찾기 위한 방정식 $$y^{\prime\prime}=0\Rightarrow 6x=0$$의 해는 $$x=0$$이므로 변곡점의 좌표는 \((0,7)\)입니다. \(x\)축 위의 세 점 \(\mathrm{A}(-1,0)\), \(\mathrm{O}(0,0)\), \(\mathrm{B}(a,0)\) 이라 하면, \((a>0)\) 삼차함수 그래프의 \(4\)등분 법칙에 의해 $$\mathrm{AO}:\mathrm{OB}=1:2$$이므로 $$\begin{align}&a=2\\&b=f(a)=f(2)=2^3+2\cdot2+7=19\end{align}$$$$\therefore a+b=2+19=21$$

[문제1]의 풀이2

근과 계수의 관계를 이용한 풀이도 가능합니다. 점 \(\mathrm{P}(-1,4)\)에서의 접선의 방정식을 \(y=mx+n\)이라 두면, 방정식 삼차함수의 그래프와 접선이 만나는 점을 구하기 위한 방정식 $$x^3+2x+7=mx+n$$의 해는 \(x=-1\) (중근), \(x=a\)입니다. $$\begin{align}&x^3+2x+7=mx+n\\&\Rightarrow x^3+(2-m)x+7-n=0\end{align}$$인데, 이 방정식의 \(x^2\)의 계수는 \(0\)이므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합$$(-1)+(-1)+a=0$$$$\therefore a=2$$입니다.

[문제2] 2013학년도 평가원 6월 나형 27번

곡선 \(y=x^3-5x\) 위의 점 \(\mathrm{A}(1,-4)\)에서의 접선이 점 \(\mathrm{A}\)가 아닌 점 \(\mathrm{B}\)에서 곡선과 만난다. 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이는?

[문제2]의 풀이

[문제1]과 같은 해법을 가진 문제입니다. 이 함수 역시 \(x^2\)의 계수가 0이므로 변곡점의 \(x\)좌표 역시 0입니다. 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 \(a\) 라 하면, \(4\)등분 법칙이나 근과 계수의 관계를 이용하여 간단히 \(a=-2\cdot 1=-2\)가 된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 \(y\)좌표는 \((-2)^3-5(-2)=2\)입니다. 따라서 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이는 $$\sqrt{(-2-1)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

[문제3] 2015학년도 수능 A형 14번

함수 \(f(x)=x(x+1)(x-4)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. 직선 \(y=5x+k\)와 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 \(k\)의 값은?

[문제3]의 풀이

삼차함수의 그래프와 직선이 두 점에서 만나려면 직선이 삼차함수의 그래프에 접해야 합니다. 따라서 방정식 $$\begin{align}&f(x)=5x+k\\&\Leftrightarrow f(x)-5x-k=0\\&\Leftrightarrow x^3-3x^2-9x-k=0\end{align}$$ 중근과 다른 한 근 \(\alpha\)를 가져야 하고, 삼차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 문제를 풀 수 있습니다.

하지만 이 문제는 접선과 삼차함수가 만나는 점의 위치를 묻는 것이 아니므로 반드시 대칭성을 사용하여 문제를 풀어야 할 필요는 없습니다. 이 풀이에서는 대칭성을 이용한 풀이와 접점의 좌표를 이용한 풀이 모두를 살펴보겠습니다.

■대칭성을 이용한 풀이(근과 계수의 관계)

변곡점의 \(x\)좌표가 0이 아닐 때에는 대칭성을 이용하기 위해서 근과 계수의 관계를 사용하는 것이 여러모로 편리합니다.

접점의 \(x\)좌표를 \(t\)로 두면, 주어진 직선 \(y=5x+k\)의 기울기가 5이므로 접점에서의 접선의 기울기 $$f'(t)=5$$가 되어야 합니다. $$\begin{align}&f(x)=x(x+1)(x-4)=x^3-3x^2-4x\\&f'(x)=3x^2-6x-4\end{align}$$이므로 $$\begin{align}&f'(t)=5\\&\Leftrightarrow 3t^2-6t-4=5\\&\Leftrightarrow3t^2-6t-9=0\\&\Leftrightarrow3(t-3)(t+1)=0\end{align}$$$$\therefore t=3, -1$$입니다. 따라서 방정식 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$의 중근은 \(3\) 또는 \(-1\)이 되어야 합니다.

먼저 중근이 \(3\)일 때, 삼차함수의 그래프와 직선이 만나는 점의 \(x\)좌표를 찾기 위한 방정식 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$에 근과 계수의 관계를 적용하면 세 근의 합 $$3+3+\alpha=3$$$$\therefore \alpha=-3$$이고, 세 근의 곱 $$\begin{align}&3\cdot 3\cdot \alpha=k\\
&\Rightarrow 3\cdot3\cdot(-3)=k\end{align}$$$$\therefore k=-27$$입니다. 같은 방법으로 중근이 \(-1\)일 때, 근과 계수의 관계를 생각하면 세 근의 합 $$(-1)+(-1)+\alpha=3$$
$$\therefore \alpha=-5$$이고, 세 근의 곱 $$\begin{align}
&(-1)\cdot (-1)\cdot \alpha=k\\
&\Rightarrow (-1)\cdot (-1)\cdot 5=k\end{align}$$$$\therefore k=5$$ 입니다.  따라서 양수 \(k\)의 값은 \(5\)입니다.

■접점의 좌표를 이용한 풀이

앞서 풀이에서, 접점의 \(x\)좌표는 3또는 -1이므로 접점의 좌표는 \((3,f(3))=(3,-12)\)또는 \((-1,f(-1))=(-1,0)\)입니다.

접점의 좌표가 \((3,-12)\) 일 때 직선 \(y=5x+k\)가 이 점을 지나기 위해서는 $$-12=5\cdot 3+k$$$$\therefore k=-27$$입니다.

같은 방법으로, 접점의 좌표가 \((-1,0)\) 일 때 직선 \(y=5x+k\)가 이 점을 지나기 위해서는 $$0=5\cdot (-1)+k$$$$\therefore k=5$$입니다. 

이 중 양수 \(k\)의 값은 \(5\)입니다.