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대칭식과 교대식은 다음과 같은 관계를 가지고 있습니다.

(1) 대칭식×대칭식=대칭식
(2) 교대식×대칭식=교대식
(3) 교대식×교대식=대칭식

이 글에서는 이 관계를 증명하고, 이 사실을 이용한 인수분해에 대해서 이야기합니다.

대칭식과 교대식의 정의

대칭식

대칭식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 2개의 변수를 바꾸어 계산을 하여도 그 결과가 원래의 식과 같아지는 식입니다. 예를 들어 3개의 변수 \(x\), \(y\), \(z\) 를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 가 대칭식이라면, \(x\) 와 \(y\) 또는 \(y\) 와 \(z\) 또는 \(z\)와 \(x\)를 바꾸어 계산하여도  그 결과가 원래의 식과 같아집니다. 즉 , $$\begin{align}f(x,y,z)&=f(y,x,z)\\&=f(x,z,y)\\&=f(z,y,x)\end{align}$$ 가 됩니다.

교대식

교대식은 식을 구성하고 있는 변수 중에서 어떠한 2개의 변수를 바꾸어 계산을 하여도 그 결과가 원래의 식과 부호만 달라지는 식입니다. 예를 들어 3개의 변수 \(x\), \(y\), \(z\) 를 사용하는 식 \(f(x,y,z)\) 가 교대식이라면, \(x\) 와 \(y\) 또는 \(y\) 와 \(z\) 또는 \(z\)와 \(x\)를 바꾸어 계산하여도 그 결과가 원래의 식과 부호만 달라집니다. 즉 , $$\begin{align}f(x,y,z)&=-f(y,x,z)\\&=-f(x,z,y)\\&=-f(z,y,x)\end{align}$$ 가 됩니다.

증명 : 대칭식과 교대식의 관계

2개의 변수를 사용하는 3개의 식 $$f(x,y),\ g(x,y)\ ,h(x,y)$$를 사용해서 대칭식과 교대식의 관계를 증명하겠습니다. 3개이상의 변수를 사용하는 식에 대해서도 그 증명과정은 비슷합니다.

대칭식×대칭식=대칭식

$$h(x,y)=f(x,y)\times g(x,y)$$으로 정의하겠습니다. 만일 \(f(x,y)\) 와 \(g(x,y)\) 가 모두 대칭식이라면 대칭식의 정의에 의해 $$f(x,y)=f(y,x),\ g(x,y)=g(y,x)$$가 됩니다. \(h(x,y)\) 가 어떤 종류의 식인지 확인하기 위해 \(x\) 와 \(y\)를 바꾸어 \(h(y,x)\)를 계산하면 $$\begin{align}h(y,x)&=f(y,x)\times g(x,y)\\&=f(x,y)\times g(x,y)\\&=h(x,y)\end{align}$$$$\therefore h(x,y)=h(y,x)$$가 되어 \(h(x,y)\) 는 대칭식이 됩니다.

교대식×대칭식=교식

$$h(x,y)=f(x,y)\times g(x,y)$$으로 정의하겠습니다. 만일 \(f(x,y)\) 가 교대식, \(g(x,y)\) 가 대칭식이라면 대칭식과 교대식의 정의에 의해 $$f(x,y)=-f(y,x),\ g(x,y)=g(y,x)$$가 됩니다. 앞서와 마찬가지로 \(h(x,y)\) 가 어떤 성질을 가지고 있는지 알아보기 위해 \(x\) 와 \(y\)를 바꾸어 \(h(y,x)\) 를 계산하면 $$\begin{align}h(y,x)&=f(y,x)\times g(x,y)\\&=-f(x,y)\times g(x,y)\\&=-h(x,y)\end{align}$$$$\therefore h(x,y)=-h(y,x)$$가 되어 \(h(x,y)\) 는 교대식이 됩니다.

교대식×교대식=대칭식

$$h(x,y)=f(x,y)\times g(x,y)$$으로 정의하겠습니다. 만일 \(f(x,y)\) 와 \(g(x,y)\) 가 모두 교대식으로 이라면 교대식의 정의에 의해 $$f(x,y)=-f(y,x),\ g(x,y)=-g(y,x)$$가 됩니다. \(h(x,y)\) 가 어떤 성질을 가지고 있는지 알아보기 위해 \(x\) 와 \(y\)를 바꾸어 \(h(y,x)\) 를 계산하면 $$\begin{align}h(y,x)&=f(y,x)\times g(x,y)\\&=-f(x,y)\times (-g(x,y))\\&=f(x,y)\times g(x,y)\\&=h(x,y)\end{align}$$$$\therefore h(x,y)=h(y,x)$$가 되어 \(h(x,y)\) 는 대칭식이 됩니다.

활용:인수분해

대칭식과 교대식의 관계는 인수분해에 활용할 수 있습니다. 특히, 3변수 대칭식과 교대식의 인수분해에 유용합니다.

3변수 대칭식이 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 를 인수로 가질 때

만일 3변수 대칭식 \(f(x,y,z)\) 가 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 를 인수로 가지면 \(f(x,y,z)\)는 다음과 같이 인수분해 됩니다. $$f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)\times g(x,y,z)$$ 그런데 식 \((x+y)(y+z)(z+x)\) 는 대칭식이므로 성질(1)에 의해 \(g(x,y,z)\) 는 대칭식이 되어야 합니다. (대칭식×대칭식=대칭식)

한편, 대칭식 \(g(x,y,z)\) 의 차수는 \(f(x,y,z)\) 차수가 무엇인지에 따라 달라집니다.  \((x+y)(y+z)(z+x)\) 가 이미 3차식이므로 \(f(x,y,z)\)가 3차식일 때 \(g(x,y,z)\)는 상수가 되어야 하고, \(f(x,y,z)\)가 4차식일 때에는 \(g(x,y,z)\)는 일차식이 되어야 합니다. 즉, $$g(x,y,z)=
\begin{cases}
k, & \text{$f(x,y,z)$가 3차식일때}\\
k(x+y+z) & \text{$f(x,y,z)$가 4차식일때}
\end{cases}$$ 이 사실을 이용한 구체적인 예는 3변수 대칭식의 인수분해에서  확인하실 수 있습니다.

교대식이 \((x-y)(y-z)(z-x)\) 를 인수로 가질 때

[3변수 교대식의 성질과 인수분해]에서 알아보았듯이,  3변수 교대식은 언제나 \((x-y)(y-z)(z-x)\)를 인수로 갖습니다. 따라서 \(f(x,y,z)\)가 3변수 교대식이면 언제나 다음과 같이 \((f(x,y,z)\)를 인수분해 해 줄 수 있습니다. $$f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\times g(x,y,z)$$로 인수분해가 됩니다. 그런데, \((x-y)(y-z)(z-x)\)는 교대식이므로 성질(2) (교대식×대칭식=교대식)에 의해 \(g(x,y,z)\)는 언제나 대칭식입니다. 이 때 대칭식 \(g(x,y,z)\)의 차수는 \(f(x,y,z)\)의 차수에 따라 정해집니다.

그런데 \((x-y)(y-z)(z-x)\) 가 이미 3차식이므로 \(f(x,y,z)\)가 3차식일 때는 \(g(x,y,z)\)는 상수가 되어야 하고, \(f(x,y,z)\) 가 3차식일 때는 \(g(x,y,z)\)가 일차식이 되어야 합니다. 즉 $$g(x,y,z)=
\begin{cases}
k, & \text{$g(x,y,z)$가 상수일때}\\
k(x+y+z) & \text{$g(x,y,z)$가 1차식일때}
\end{cases}$$ 이 사실을 이용한 구체적인 예는 3변수 교대식의 성질과 인수분해에서 확인하실 수 있습니다.