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삼차함수 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$가 \(x=\alpha\), \(x=\beta\) 에서 각각 극댓값과 극솟값 \(f(\alpha)\)  \(f(\beta)\)를 갖고 변곡점의 좌표가 \((m, f(m))\) 일 때, 두 극값의 합 \(f(\alpha)+f(\beta)\)는 다음과 같습니다.

$$f(\alpha)+f(\beta)=2f(m)=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

증명

이 식의 증명은 매우 간단합니다. 삼차함수 그래프의 대칭성과 삼차함수의 두 극점을 연결한 직선의 성질을 이용하는 것입니다.

1. 모든 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 대칭이다.
2. 삼차함수 그래프의 두 극점을 연결한 선분은 변곡점을 지난다.
3. 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점은 변곡점이다.

변곡점의 위치관계

삼차함수의 그래프는 변곡점에 대해 대칭이므로, 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점은 변곡점이 되어야 합니다. 변곡점의 좌표를 $$(m,f(m))$$, 두 극점의 좌표를 $$(\alpha, f(\alpha),(\beta, f(\beta))$$로 두면 두 극점을 양끝으로 하는 선분의 중점의 좌표는 $$\left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\right)$$이므로 $$\left(\frac{\alpha+\beta)}{2}, \frac{f(\alpha)+f(\beta))}{2}\right)=(m,f(m))$$이 되어야 합니다. 따라서 $$\frac{\alpha+\beta}{2}=m, \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}=f(m)$$이므로 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 합$$f(\alpha)+f(\beta)=2f(m)=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$입니다.

관련문제

[문제1] 사이타마대

삼차함수 \(g(x)=x^3+3x^2+x+d\)의 극댓값과 극솟값의 합이 8이 되도록 하는 \(d\)의 값을 구하시오.

[문제1]의 풀이

함수 \(g(x)\)가 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극댓값과 극솟값을 갖는다고 하면 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 방정식 $$g'(x)=3x^2+6x+1=0$$의 두 근입니다. 이차방정식의 근과 계수를 사용하여 두 근의 합을 구하면 $$\alpha+\beta=-\frac{6}{3}=-2$$입니다. 따라서 두 극값의 합은$$\begin{align}g(\alpha)+g(\beta)&=2g\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\
&=2g\left(\frac{-2}{2}\right)\\
&=2g(-1)\\
&=2(-1+3+(-1)+d)\\
&=2(1+d)\end{align}$$ 입니다. 그리고 문제의 조건에서 두 극값의 합은 8이 되어야 하므로 두 극값의 합이 8이 되기 위한 \(d\)의 값은 $$2(1+d)=8\Rightarrow d=3$$

[문제2] 에히메대

삼차함수 \(f(x)=ax^3+\dfrac{3}{2}bx^2+cx+d\)가 \(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=0\)을 만족한다. \(f(x)\)가 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 각각 극댓값과 극솟값을 가질때, 두 극값의 합 \(f(\alpha)+f(\beta)\)를 구하시오.

[문제2]의 풀이

함수 \(f(x)\)가 \(x=\alpha\)와  \(x=\beta\)에서 극댓값과 극솟값을 갖고 있으므로\(\alpha\)와 \(\beta\)는 방정식 $$f'(x)=3ax^2+3bx+c=0$$의 두 근입니다. 이차 방정식의 근과 계수의 관계를 사용하여 두 근의 합을 구하면 $$\alpha+\beta=-\frac{3b}{3a}=-\frac{b}{a}$$입니다. 따라서 $$\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{b}{2a}$$이고, 문제에서 주어진 조건에 의해  \(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=0\) 이므로 두 극값의 합 $$\begin{align}f(\alpha)+f(\beta)&=2f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\
&=2f\left(-\frac{b}{2a}\right)\\
&=2\cdot 0=0\end{align}$$